孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1-玻尔兹曼方程.ppt

5.1 玻尔兹曼方程 本节主要内容： 玻尔兹曼方程和弛豫时间近似 5.1 玻尔兹曼方程 表示N—电子体系在热平衡态(温度为T)时，能量为?k的单电子本征态被一个电子占据的概率，亦即该电子态的平均电子数。 在第一章我们讨论金属自由电子气体的热性质时，已经知道在热平衡状态下，即温度均匀且无外场作用时，电子系统的分布函数为费米分布函数，为了和非平衡分布函数区分，把费米分布函数表示为： 玻尔兹曼方程 显然，对于均匀体系， 与电子所在晶体内位置 r 无关。 要想讨论输运问题，必须知道微扰状态下的分布函数，如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面，且电子所经历的碰撞为弹性散射(散射前后能量相等，仅波矢的方向有所改变)以及弱场的情况(亦即可将外场的作用当成微扰，从而非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少)。 在上述假定下,非平衡的稳态分布可以表示为： 1.分布函数的变化 电子分布函数 f 是波矢 、空间坐标 和时间t的函数。亦即，在t时刻，在单位体积晶体内位置 附近找到一个波矢为 的电子的几率是： 电子分布函数 f 与位置 有关系，通常是由于化学不均匀性引起的。其原因一方面是由于化学成分不均匀(成分不同化学势不同)引起的化学势(费米能)依赖于位置；另一方面是由于有温度梯度引起的化学势(费米能)依赖于位置。我们这里仅考虑后者,即： 温度梯度 f 变化 变化 化学势变化 电子分布函数f 与波矢 有关系，也就是与能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以理解。 在外电场 和磁场 中,电子的运动规律是： 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的作用使得波矢依赖于时间，即： f 变化 变化 能量变化 如果不存在碰撞，t时刻，在相空间(以波矢 坐标 为变量组成的空间) 、 处的电子必来自 t - dt 时刻 处，即不存在碰撞时来自于电子的漂移过程。所以： 如果不存在碰撞 实际上,由于存在碰撞,dt 时间内,从 出发的电子未必都能到达 、 处,自然， 、 处的电子由于存在碰撞也并不全部来自 处。所以占据几率随时间的变化包括两部分：一部分是迁移过程(粒子的漂移和扩散);另一部分是与相互作用的对方相碰撞而出现的.所以： 漂移作用引起的分布函数的变化 碰撞引起的分布函数的变化 所以，电子分布函数的变化可表示为： 通常我们研究输运行为时，讨论的都是定态过程，即假定： 注意，这里提到的稳态情形 和费米—狄拉克函数 所定义的平衡态之间是有区别的。 从上面的讨论可以看出，要研究输运行为，必须对漂移项(drift term)和碰撞项(collision term)(或散射项(scattering term)也叫相互作用项)有所了解。 1).漂移项(先不考虑碰撞时) 按照分布函数的定义，在t时刻，总电子数中存在于相空间体积元 内的电子数为： 在 t+dt 时刻,空间体积元 含有这样一些电子,这些电子在t 时刻的坐标是 其波矢分量为 亦即在t+dt 时刻有： 在扩散的影响和外力的作用下，坐标空间和动量空间中的占据几率发生变化。 也就是这部分电子是漂移过来的，所以： 推导： 利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项 左右相等，即可得到上式。 或： 漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移 +速度引起的电子位置的漂移 漂移描述了在两次碰撞之间的纯动力学行为，并不导致不可逆因素，为此必须考虑碰撞项。 碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平衡分布。 对于碰撞项的考虑，只有知道了各碰撞机制，才能够精确地计算碰撞引起的分布函数的变化。 但是，为使问题简化，我们可以仿照第一章的做法，引入弛豫时间τ(k) 作为表征各个相互作用的唯象量。 2).相互作用项(碰撞项或散射项)： 第一章弛豫时间是作为碰撞的几率，