孙会元固体物理基础第4章晶格振动和晶体的热性质4.3简谐晶体的量子理论.ppt

4.3 简谐晶体的量子理论;4.3 简谐晶体的量子理论; 为了把原子坐标的交叉项消去,可以借用理论力学的质点系微振动的正则坐标,把原来的原子坐标系变换为正则坐标系,再采取适当的正交变换使得体系的哈密顿矩阵对角化。;1. 简正坐标、简正模; 设晶体中包含N个原子,则有3N个自由度,对应3N个位移矢量分量 (i =1,2,… 3N),它表示原子对平衡位置的偏离.以上是用原子的位矢或位移来描写晶格振动的,这类坐标称为原子坐标. ; 如果用矩阵表示上述哈密顿,则有：; 令： ,则 ; 其中： ; 由系统的拉格朗日函数：L = T - V ，得：;两式相减可得：;2)每个谐振子以特定的频率 振动，它描述体系的集体振动(3N个原子坐标 同时参与的振动),常称为体系的一个简正模. ;4)所有的简正模构成一个正交、完备集,晶格的任何振动可以表示为它们的线性组合.; 也就是经过简正坐标变换后,可使得哈密顿矩阵元对角化.;6) 过渡到量子力学; 这是标准的谐振子方程,其解为： ;2. 格波; 由于晶格的平移对称性,每个格点完全等同,因此各个原子在相同偏振方向的振幅 必须相同,但是可以相差一个相位因子 .仿照布洛赫定理的证明 ;由此可令: ;3. 一维单原子链的情况; 只是这里n对应i , q对应j; 既然 是简正坐标;推导如下:;波矢限制在第一布里渊区共有 N 个值;类似的可证势能项：; 所以,在简正坐标下,哈密顿已经对角化了.;(1)证明:;(2)证明:;二、 声子;三维晶格振动的总能量为：;格波(晶格振动)的能量量子------声子。; 3.由于 相同的各声子之间不可区分且自旋为零，且对每个声子能级 ，声子的占据数没有限制，所以声子是玻色型的准粒子(即玻色子(boson))，遵循玻色统计。;5. 声子不是真实的粒子,称为“准粒子”,它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元.声子只存在于晶体中,脱离晶体后就没有意义了.声子只是晶格中原子集体运动的激发单元,固体中,把格波激发的量子称作元激发(elementary excitation)或准粒子(quasiparticle)。; 一个波矢为q 的声子，具有准动量?q ，但是声子并不携带与平移自由度有关的物理动量。 ; 不过???子概念的引入, 对于晶格比热容以及晶体电子输运行为的讨论非常方便, 接下来我们就讨论晶格比热.