固体物理 第五章 能带理论.pdf

第五章能带理论

布洛赫定理

♦:♦近自由电子近似

平面波方法

紧束缚近似

费米面的构造法

休姆-罗瑟里定则

第一节布洛赫定理

本节主要内容：

5.1.1布洛赫定理

5.1.2波矢的取值和范围

5.1.3布里渊区

§5.1布洛赫定理

5.1.1布洛赫定理

1.晶格的周期性势场

(1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和;

(2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势

能与距离成反比);

(3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具

有周期性；

(4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在

晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期

性。@@。⑤6)

电子在一个具有晶格周期性的势场中运动

K（F）=+冗）其中无为任意格点的位矢。

力S

——V2+K（r）y/=Ey/

2m

2.布洛赫定理

当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质:

|/+无）=一氏/）|

其中5为电子波矢，氏=/4+%用+/4是格矢。

根据布洛赫定理波函数写成如下形式：

「颂卜颂卜颂）=?

1〃*）=〃/+氏）

在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调

幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。

3.证明布洛赫定理

⑴引入平移对称算符六用）

人人

⑵说明：[7，]=0

（3）f=Q//2（无）=e〃

（1）平移对称算符f（Rn）

T（Rn）f（r）=f（r^Rn）

T2（无）/、）=f（^）/（F+凡）=/（7+2凡）

P（瓦）/（『）=/（尸+市”）

/（；）可以是/（；）,〃（；），6（；）

⑵优6]=0

人力2

H=——V2+K（r）

2m

V（r）=V（r+Rn）,

⑶O①⑤6）

在直角坐标系中：

标斗分2_

v2(F)=T-y+^y+^y=V2(F+^n)

dxdydz

d2d2d2

=11

d(x+nia1)2d(y+n2a2)25(z+n33)2

晶体中单电子哈密顿量育具有晶格周期性。

T(RnW(r)=H(f+R(F+用)=H(r)T(R)必尸)

优育］=0

平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。

由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数

是方的本征函数，那么跑也一定是算符五兄）的本征函

数。（3）力—=九W4（无）=e指

设f（比）对应的本征值为〃用），则有

f（^w）=风A）=

根据平移特点

T（）=T（/尻+n2a2+%万3）=7（巧51）7（巧万2）7（%电）

=/伍i）H丽）『任他中

可得到

会用加⑺=〃用）必乃=设（访）］%［4（G）］“汝）卜祗）

即〃用）=［啊）卜土瓦严供3）］”