《固体物理·黄昆》复件-第五章(1).ppt

由于 上式分别左乘?k(0)*或?k’(0)* ，并积分得 解得 久期方程 久期方程 这里 （1） 对应于k态和k’态距离布里渊区边界较远的情况 （设? 0） 此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互作用强的k和k’在微扰中的相互影响，而将其他影响小的散射波忽略不计了。影响的结果是使原来能量较高的k’态能量升高，而能量较低的k态的能量降低，即微扰的结果使k态和k’态的能量差进一步加大 k和k’态距布里渊区边界较远情况 （2） 对应于k和k’很接近布里渊区边界的情况 由 在布里渊区边界处自由电子的动能 k和k’很接近布里渊区边界的情况 得 两个相互影响的态k和k’，微扰后能量分别为E＋和E－ ? 0时， k’态的能量比k态高，微扰后使k’态的能量升高，而k态的能量降低。 ? ?0时，E?分别以抛物线的方式趋于Tn??Un?。 ? 0时， k态的能量比k’态高，微扰的结果使k态的能量升高，而k’态的能量降低 E(k)~k示意图 Ek’(0) Ek(0) E－ E＋ Tn Tn 由于周期场的微扰，E(k)函数在布里渊区边界k=?n?/a处出现不连续，能量的突变为： 称为能隙，即禁带宽度，这是周期场作用的结果 禁带宽度 1. 零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线 2. 非简并微扰情形下：电子的k不在?n/a附近时，与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大，能量修正很小，曲线仍近似为抛物线。 3. 简并微扰情形下：电子的k趋近于?n/a时，与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差变小，能量修正变大，曲线偏离抛物线，在?n/a 处偏离最大。能量本征值在此位置断开，能量的突变大小为2 ?Un?。 三、 能带和禁带（带隙） 4. 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级 5. 和晶格振动问题中一样，在 之间k的取值数目为 ，各个能带对应的k取值范围相同，因此，每个能带包含k的取值数为 等于晶格中原胞的数目。计入自旋，每个能带中包含有2N个量子态。 III II II III I 一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系 6. 电子波矢k和简约波矢 的关系 —— 第一布里渊区 所以标志一个波矢状态需要表明 （1）它属于哪一个能带； （2）它的简约波矢是什么。 电子波矢 —— m为整数 简约波矢 的取值范围 以一维情况为例， 零级近似下自由粒子的波函数可写成 一、方程与微扰计算 方程 周期场： 为格矢 Fourier展开 ——势能函数的平均值 —— 微小量 §5.4 3D周期场电子运动近自由电子近似 零级近似 微扰项 由零级近似求出自由电子的能量本征值和归一化波函数 与一维情况类似，一级微扰能量为 一级修正的波函数和二级微扰能量分别为 一级修正的波函数和二级微扰能量 其中 当k离布里渊区边界较远时，由周期场的影响而产生 的各散射波成分的振幅都很小，可以看成小的微扰 在BZ边界面上或其附近[k‘?(k+Gn)2]时，相应的散射波成分的振幅变得很大，要用简并微扰来处理 简并分裂后，零级近似的波函数由相互作用强的几个态的线性组合组成 简并分裂后的能量： 在三维情况下，在布里渊区边界面上的一般位置，电子的能量是二重简并的，即有两个态的相互作用强，其零级近似的波函数就由这两个态的线性组合组成； 在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量多重简并的情况。对于g重简并，即有g个态的相互作用强，其零级近似的波函数就需由这g个相互作用强的态的线性组合组成，由此解出简并分裂后的g个能量值 kx ky 例：在简单立方晶格的简约区中的M点（即简约区棱边 的中点）， 电子能量为四重简并，即可以找到四个倒格矢Gn，使得k’=k－Gn态与k态的能量相等 0 kx ky kz M 例 这四个态的零级能量依次为 简并分裂后的零级近似波函数应由这四个简并态的线性组合组成： 代入Schr?dinger方程中，利用自由电子的波动方程，与一维情况相似，可得Secular方程： 根据立方晶体的点群对称性，在U(Gn)中倒格矢Gn的各指数互换位置或改变符号，应具有相等的U(Gn) 在上式中的各U(Gn)可以分成两类： 只要给出U(r)的具体形式，即可求出其相应的各Fourier系数，再由上式的Secular方程求出简并分裂后的各能量值 简约区的体积＝倒格子原胞体积＝?b 简约区中k的取值总数＝?(k) ?b＝N