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中心极限定理

本课件将带领大家深入了解中心极限定理及其在各领域的应用，并探讨证明思路

及教学反思。

什么是中心极限定理

核心概念简要说明

中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它揭示了大量独立同分想象你不断地抛硬币，记录每次抛硬币正面朝上的次数。随着抛硬

布的随机变量之和的分布会趋近于正态分布。简单来说，无论初始币次数的增加，正面朝上次数的分布将越来越接近正态分布。这就

随机变量的分布是什么，只要样本量足够大，它们的平均值就会近是中心极限定理的一个直观例子。

似服从正态分布。

中心极限定理的由来

中心极限定理的发展源于18世纪，与雅各布·伯努利、拉普拉斯等数学家的研究

密切相关。他们的工作奠定了中心极限定理的理论基础。在19世纪，概率论的进

步使得中心极限定理得到了更严谨的证明和推广。

重要性与应用

统计推断基础

中心极限定理是统计推断的基础，它允许我们用正态分布来近似描述样本

均值的分布，从而进行参数估计和假设检验。

广泛应用领域

中心极限定理被广泛应用于各个领域，包括金融、工程、医疗保健、社会

科学等。例如，我们可以利用它分析股票价格的波动，评估药物疗效，预

测人口增长趋势。

随机变量的分布

离散分布连续分布

离散分布适用于取值有限或可数的随机变量，例如抛硬币的结果连续分布适用于取值连续的随机变量，例如身高、体重、温度等。

（正面或反面），骰子的点数（1到6）。正态分布是连续分布中非常重要的一种分布。

正态分布的基本性质

钟形曲线均值与方差经验法则

正态分布的概率密度函数呈钟形，对正态分布由均值和方差两个参数决定，根据经验法则，约68%的数据落在均

称分布在均值周围。它们分别代表分布的中心位置和数据值正负一个标准差范围内，约95%的

的离散程度。数据落在均值正负两个标准差范围内，

约99.7%的数据落在均值正负三个标

准差范围内。

标准正态分布

标准正态分布是均值为0，方差为1的正态分布。它可以通过对任意正态分布进行

标准化转换得到。标准正态分布在统计推断中非常有用，因为它可以用来计算概

率并进行假设检验。

z-分数计算

z-分数是指将一个随机变量的值减去均值，再除以标准差得到的数值。它表示该

值相对于均值的标准偏差数。z-分数可以用来比较不同分布的随机变量。

中心极限定理的前提

独立性同分布性

随机变量必须相互独立，这意味着随机变量必须具有相同的分布。例

一个变量的值不会影响其他变量的如，所有抛硬币的试验都应该使用

值。例如，抛硬币的结果之间应该相同的硬币。

是独立的。

样本量

样本量必须足够大，通常情况下，样本量大于30就可以满足中心极限定理的

条件。

相互独立的随机变量

中心极限定理要求随机变量之间相互独立。这意味着一个变量的值不会影响其他

变量的值。例如，如果我们测量100个人的身高，我们可以假设每个人的身高都

是独立的，即一个人的身高不会影响其他人的身高。

样本量n要足够大

样本量n的大小对于中心极限定理的成立