《52中心极限定理》课件.ppt

作业 END 谢谢！ * 第五章 在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求, 但一经取极限由有限过渡到无限, 则问题反而好办. 例如, 若对某一x,要计算和 而一经取极限，则有 简单的结果 事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。 §5.2 中心极限定理 中心极限定理从理论上证明，对于大量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数很接近。这就是为什么实际中遇到的随机变量很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。 下面学习两个常用的中心极限定理。 林德伯格一莱维中心极限定理 （证略） 此定理说明,当n充分大时,有 或 例1 假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟.设各件成品的组装时间相互独立，试求组装100件成品需要15到20小时的概率。 解 设第i件组装的时间为Xi分钟,i=1,2，…100. 由中心极限定理知 近似 把 标准化 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱的平均重50千克,标准差5千克. 若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977. 例2 解 由中心极限定理,有 总重量 所以n必须满足 即最多可以装98箱. 下面给出上述定理的一个重要特例。 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心极限定理 证 由林德伯格-莱维定理可知， 由林德伯格-莱维定理可知， 由莱维一林德伯格定理可知， 或 即有近似计算公式 例3 设在某保险公司有1万个人参加投保，每人每年付120元保险费. 在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1万元，问: (1) 该保险公司亏本的概率为多少? (2) 该保险公司一年的利润不少于40, 60, 80万元的概率各是多少? 解 设一年内死亡的人数为X,则 由D-L中心极限定理, 即该保险公司亏本的概率几乎为0. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 例4 解 某一时刻开动的车床数 要求最小的k,使 由D-L中心极限定理, 查表得 所以若供电141千瓦，那么由于供电不足而影响生产的可能性不到0.001，相当于8小时内约有半分多钟受影响，这一般是允许的。 例5 某产品次品率 p = 0.05, 试用中心极限定理估计在1000件产品中次品数在 40~60 之间的概率 . 解 次品数 由D-L中心极限定理, 解 例6 已知生男孩的概率为0.515，试用中心极限定理求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率。 设X为10000个新生婴儿中男孩的个数, 由D-L中心极限定理, 所以 P107 习题 5-2 1；2；3；4 * * *