大数定律及中心极限定理(2)课件.ppt

大數定律及中心極限定理第一節大數定律第二節中心極限定理第一節大數定律先介紹r.v序列幾種收斂性的定義1．幾乎處處收斂：設X1，X2，…是定義在同一概率空間（，F，P）上的r.v列，如果則稱r.v列幾乎處處（或依概率1）收斂於，記為（或a.s）第一節大數定律2．依概率收斂：若對任意的＞0，有（或：）則稱r.v列依概率（或隨機收斂）收斂於r.vX，記為第一節大數定律3．依分佈收斂（或弱收斂）：設r.vX，Xn各自d.f為F(x)和Fn(x)，若在F(x)的每一連續點x處，有則稱r.v列Xn依分佈收斂於r.vX，記為或第一節大數定律4．依r階平均收斂：設對某r＞0，，若有則稱r.v列｛Xn｝依r階平均（矩）收斂到X，記為以上四者之關係為第一節大數定律大數定律的數學定義：設｛Xn｝是r.v列，記，｛an｝是常數列。若＞0，有即則稱｛Xn｝（按算術平均值）服從大數定律。命題1車比雪夫定理

（由車比雪夫在1866年證明的）設｛Xn｝是相互獨立的r.v列，若存在c＞0，使DXn≤c，則｛Xn｝服從大數定律。證明：取，∵｛Xn｝相互獨立，∴故從而由車比雪夫不等式，有第一節大數定律推論：設r.v列｛Xn｝相互獨立，且，存在，則｛Xn｝服從大數定律。例如：某容器內有很多氣體分子，它們在不斷地運動，每個氣體分子運動是隨機的，在一定溫度下容器內某部分氣體分子的動能的算術平均值幾乎是一個常數。命題2貝努利定理（BernoulliTh）在Bernoulli試驗中，設事件A在每次試驗中出現的概率為p，記nA為前n次試驗中A出現的次數，則＞0，有即第一節大數定律證明：令則｛Xk，k≥1｝相互獨立，且DXk=pq≤1（EXk=p），，，∴由命題1知由此Th可知，為什麼在實際中，可用頻率去代替概率的道理。命題3泊松定理（PoissonTh）設在獨立試驗中，事件A在第k次試驗中出現的概率為pk，以nA表示前n次試驗中A出現的次數，則有證明：令則由，，再由命題1即可得證。命題4辛欽定理設｛Xk，k≥1｝是i.i.dr.v列，則｛Xk｝服從大數定律的充分必要條