大数定律和中心极限定理课件.PPT

§5.1大數定律【定理5.4】（辛欽大數定律）設X1，X2，…，Xn，…是相互獨立，服從同一的分佈的隨機變數序列，且具有數學期望E(Xi)=?(i=1，2，…)，則依概率收斂於?，即(5.5)辛欽大數定律提供了求隨機變數數學期望E(X)的近似值的方法．辛欽大數定律是數理統計部分中點估計理論的重要依據§5.1大數定律【例5-3】設隨機變數X1，X2，…，Xn獨立同分佈，且存在，令則證：因為X1，X2，…，Xn獨立同分佈，所以獨立同分佈。又存在，由辛欽大數定律§5.2中心極限定理大數定律討論的是多個隨機變數的算術平均的漸近性質．現在我們來討論獨立隨機變數和的極限分佈．先給出一個例子．§5.2中心極限定理【例5-4】誤差分析是人們經常遇到且感興趣的隨機變數，大量的研究表明，誤差產生是由大量微小的相互獨立的隨機因素疊加而成的．現在考慮一位操作工在機床上加工機械軸，要求其直徑應符合規定要求，但加工後的機械軸與規定要求總會有一定誤差，這是因為在加工時受到一些隨機因素的影響，它們是：(1)在機床方面有機床振動與轉速的影響；(2)在刀具方面有裝配與磨損的影響；(3)在材料方面有鋼材的成分、產地的影響；(4)在操作者方面有注意力集中程度、當天的情緒的影響§5.2中心極限定理【例5-4】誤差分析是人們經常遇到且感興趣的隨機變數，大量的研究表明，誤差產生是由大量微小的相互獨立的隨機因素疊加而成的．現在考慮一位操作工在機床上加工機械軸，要求其直徑應符合規定要求，但加工後的機械軸與規定要求總會有一定誤差，這是因為在加工時受到一些隨機因素的影響，它們是：(1)在機床方面有機床振動與轉速的影響；(5)在測量方面有度量工具誤差、測量技術的影響；(6)在環境方面有車間溫度、濕度、照明、工作電壓的影響；(7)在具體場合還可列出許多其他影響因素．§5.2中心極限定理由於這些因素很多，每個因素對加工精度的影響都是很微小的，而且每個因素的出現又都是人們無法控制的、隨機的、時有時無、時正時負的．這些因素的綜合影響最終使每個機械軸的直徑產生誤差，若將這個誤差記為Yn，那麼Yn是隨機變數，且可以將Yn看作很多微小的隨機波動X1，X2，…，Xn之和，即Yn=X1+X2+…+Xn這裏n是很大的，那麼我們關心的是，當時n??時，Yn的分佈是什麼？§5.2中心極限定理由於這些因素很多，每個因素對加工精度的影響都是很微小的，而且每個因素的出現又都是人們無法控制的、隨機的、時有時無、時正時負的．Yn=X1+X2+…+Xn這裏n是很大的，那麼我們關心的是，當時n??時，Yn的分佈是什麼？當然，我們可以考慮用卷積公式去計算Yn的分佈，但這樣的計算是相當複雜的、不現實的，而且也是不易實現的．有時即使能寫出Yn的分佈，但由於其形式複雜而無法使用．§5.2中心極限定理5.2.1獨立同分佈的中心極限定理【定理5.5】（獨立同分佈的中心極限定理）設X1，X2，…，Xn，…為相互獨立、服從同一分佈的隨機變數序列，且E(Xi)=?，D(Xi)=?2?0（i=1，2，…），則對於任意x，有 (5.6)記記為Yn的分佈函數，則§5.2中心極限定理5.2.1獨立同分佈的中心極限定理推論1：當n充分大時,或推論2：當n充分大時或其中，§5.2中心極限定理5.2.1獨立同分佈的中心極限定理【例5-5】用機器包裝味精，每袋淨重為隨機變數，期望值為100克，標準差為10克，一箱內裝200袋味精，求一箱味精淨重大於20400克的概率．解：設箱中第i袋味精的淨重為Xi克,X1,X2,…,Xn是200個相互獨立同分佈的隨機變數，且由中心極限定理即§5.2中心極限定理