五大数定律与中心极限定理课件.ppt

* * 第五章 大数定律 与 中心极限定理 5.1 大数定律 在引入大数定律之前，我们先证一个重要的不等式 ----挈比雪夫（Chebyshev）不等式。 例：设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯 开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立， 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概 率。 定理1: 定义1: 定理2: 或 证明：设Xi表示第 i 次试验中事件A出现的次数，i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为p的 (0-1)分布，故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n且 ，由契比雪夫大数定律知，对于任意的 ，有 （贝努里大数定律）以nA是n次独立重复试验中事件A出现的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率 (0p1),则对任意的? 0有: 定理3: (辛钦大数定律)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,… 相互独立,服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)=? (i=1,2,…) ，则对于任意正数?,有 定理4: 5.2 中心极限定理 定理5: (独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差，E(Xk)=?, D(Xk)=? 2?0( k=1,2,…).则随机变量 的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有 例：一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1 两，标准差是0.1两。求一盒（100个）同型号螺 丝钉的重量超过10.2斤的概率。 例：对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命 中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2， 方差是1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗 炸弹命中目标的概率。 (李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,它们具有数学期望和方差: 定理6: