大一上学期高数期末试卷及答案（11级）.doc

南昌大学 2011～20012学年第一学期期末考试试卷 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设则。 2. 若在处连续，则=。 3. 。 4. 设在处可导，且， 则 。 5. 设，则 。 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 设为（ ）. （A） （B） （C） （D） 2．设，，时，是比的（ ） （A）高阶无穷小 （B）非等价的同阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）低阶无穷小 3．若，则必有（ ） （A）在点连续； （B）在点有定义； （C）在的某去心邻域内有定义； （D） 4．若，则（ ） （A）， （B）， （C）， （D）， 5．设为的一个原函数，则为（ ） （A） （B） （C） （D） 三、计算题（每小题 6分，共30分） 1．求极限 2．求极限 3．计算 4．计算 5．计算 四、解答题（每小题 8分，共 16 分） 1．设可微函数由方程 确定，求和 2．设 五、应用题（每小题 8分，共 16 分） 1．求曲线的凹凸区间及拐点 2．设函数，求该函数的单调区间和极值． 六、证明题（本题满分8分） 设，在上连续， 证明：至少存在一个， 使得：． 南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设则 2. 若在处连续，则=。 3. 。 4. 设在处可导，且， 则 。 5. 设， 则. 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 设为（ A ）. （A） （B） （C） （D） 2．设，，时，是比的（ B ） （A）高阶无穷小 （B）非等价的同阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）低阶无穷小 3．若，则必有（ C ） （A）在点连续； （B）在点有定义； （C）在的某去心邻域内有定义； （D） 4．若，则（ C ） （A）， （B）， （C）， （D）， 5．设为的一个原函数，则为（ D ） （A） （B） （C） （D） 三、计算题（每小题 6分，共30分） 1．求极限 解: ； 2．求极限 解: 又 原式=1； 3．计算 解: 令，则， ； 4．计算 解: 5．计算 解: ； 四、解答题（每小题 8分，共 16 分） 1．设可微函数由方程 确定，求和 解: 方程两边求导为 所以； 2．设 解: ； 五、应用题（每小题 8分，共 16 分） 1．求曲线的凹凸区间及拐点 解: ， 令，又 在处二阶导数不存在， 当时，，所以的图形 在上是凹的， 当时，，所以的图形 在上是凸的， 当时，，所以的图形 在上是凹的， 所以凹区间为，；凸区间为 拐点为和。 2．设函数，求该函数的单调区间和极值． 解: ，由 当或时，， 所以函数在和上单调递减， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在处有极小值。 六、证明题（本题满分8分） 设，在上连续， 证明：至少存在一个， 使得：． 证明： 设， 则在上可导， 且， 又， 所以由罗尔定理可知， 使， 即 也即 11