2024_2025新教材高中数学第五章导数及其应用3.1单调性学案苏教版选择性必修第一册.doc
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单调性
新课程标准解读
核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系
数学抽象、直观想象
2.能利用导数探讨函数的单调性
逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间
数学运算
假如函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对随意的x1，x2∈(a，b)，当x1x2时，f(x1)f(x2)，即x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，从而有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)0，即eq\f(Δy,Δx)0.这表明，函数的平均改变率与其单调性亲密相关．进一步猜想，函数的瞬时改变率(即导数)与其单调性也亲密相关．
[问题]导数与函数的单调性有什么联系？
学问点函数的单调性与其导数正负的关系
对于函数y＝f(x)：
(1)假如在某区间上f′(x)0，那么f(x)为该区间上的eq\a\vs4\al(增)函数；
(2)假如在某区间上f′(x)0，那么f(x)为该区间上的eq\a\vs4\al(减)函数．
eq\a\vs4\al()
对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)；
(2)f(x)为增函数的充要条件是对随意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
在区间(a，b)内，若f′(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不肯定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案：D
2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
答案：A
3.如图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？
解：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．
导数与单调性的关系
角度一：依据原函数图象确定导函数图象
[例1]已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()
[解析]由函数y＝f(x)的图象的增减改变趋势推断函数y＝f′(x)的正、负状况如下表：
x
[－1，b)
[b，a)
[a，1]
f(x)
单调递减
单调递增
单调递减
f′(x)
－
＋
－
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈[－1，b)时，在x轴下方；当x∈[b，a)时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方．故选C.
[答案]C
eq\a\vs4\al()
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．依据导数值的正负可判定导函数图象．
角度二：由导函数图象确定原函数图象
[例2](1)已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是图中的()
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()
[解析](1)由f′(x)0(f′(x)0)的分界点推断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减改变状况如下表所示：
x
(－∞，0]
(0，2]
(2，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
由表可知f(x)在(－∞，0]内单调递增，在(0，2]内单调递减，在(2，＋∞)内单调递增，故满意条件的只有C，故选C.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内，导数递增；在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内，导数递减．即函数f(x)的图象在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内越来越陡峭，在eq\b\lc\(\rc\)(\a