2024_2025年新教材高中数学第五章函数概念与性质2第二课时分段函数学案苏教版必修第一册.doc

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其次课时分段函数

某村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．

方案二：不收管理费，每度0.58元．

[问题](1)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？

(2)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

学问点分段函数

1．分段函数

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数．

2．分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同始终角坐标系中，依据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要留意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．

对分段函数的再理解

(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；

(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必需指明各段函数自变量的取值范围；

(3)分段函数的定义域是全部自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；

(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．

函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x0))是分段函数吗？它是一个函数还是两个函数？

提示：函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x0))是分段函数，它是一个函数．

1．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x0.))则f(－2)＝________．

答案：2

2．函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x＞0，,－2，x＜0))的定义域为________________，值域为____________．

答案：(－∞，0)∪(0，＋∞){－2}∪(0，＋∞)

3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是________(填序号)．

答案：④

分段函数求值问题

[例1](链接教科书第107页例2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－1|－2，|x|≤1，,\f(1,1＋x2)，|x|1.))

(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值；

(2)若f(a)＝eq\f(1,3)，求a的值．

[解](1)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))－2＝－eq\f(3,2)，

所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(4,13).

(2)f(a)＝eq\f(1,3)，若|a|≤1，则|a－1|－2＝eq\f(1,3)，

得a＝eq\f(10,3)或a＝－eq\f(4,3).

因为|a|≤1，所以a的值不存在；

若|a|1，则eq\f(1,1＋a2)＝eq\f(1,3)，得a＝±eq\r(2)，符合|a|1.

所以若f(a)＝eq\f(1,3)，a的值为±eq\r(2).

分段函数求值问题的常见解法

(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；

(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验；

(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它