2024_2025新教材高中数学第五章导数及其应用1.2第一课时瞬时变化率与导数学案苏教版选择性必修第一册.doc

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瞬时变更率——导数

新课程标准解读

核心素养

1.通过实例分析，经验由平均变更率过渡到瞬时变更率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变更率的数学表达，体会导数的内涵与思想

数学抽象

2.体会极限思想

数学抽象

3.通过函数图象直观理解导数的几何意义

直观想象

第一课时瞬时变更率与导数

在实际生产生活中，我们须要探讨一些物体的瞬时变更率，例如：

(1)摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行竞赛；

(2)冶炼钢铁时须要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准；

(3)净化饮用水时须要依据净化费用的瞬时变更率来限制净化成本．

[问题]上述实例中都涉及到某个量的瞬时变更率，在数学意义上，这些事实上是某个量的函数的瞬时变更率，它在数学上称为什么？

学问点一曲线上一点处的切线

设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P旁边越来越靠近曲线C，当点Q无限靠近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最靠近曲线的直线l.这条直线eq\a\vs4\al(l)称为曲线在点P处的切线．

学问点二瞬时速度与瞬时加速度

1．瞬时速度

一般地，假如当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变更率eq\f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变更率．

2．瞬时加速度

一般地，假如当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变更率eq\f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变更率．

eq\a\vs4\al()

瞬时速度与平均速度的区分和联系

区分：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．

联系：瞬时速度是平均速度的极限值．

1．假如质点A依据规律s(t)＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()

A．6 B．18

C．54 D．81

解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，

∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2.∴eq\f(Δs,Δt)＝18＋3Δt.

当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于18，即质点A在t0＝3时瞬时速度为18.

2．一质点沿直线作加速运动，假设t秒时的速度为v(t)＝t2＋10，则质点在t＝3时的瞬时加速度a＝________．

解析：质点在t＝3到t＝3＋Δt的时间内平均加速度为

eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v（3＋Δt）－v（3）,Δt)＝eq\f(（3＋Δt）2－32,Δt)＝6＋Δt，

当Δt无限趋近于0时eq\o(a,\s\up6(－))无限趋近于6，

即质点在t＝3时瞬时加速度为6.

答案：6

学问点三导数的概念

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))_eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).

eq\a\vs4\al()

对导数概念的理解

“Δx→0”的含义是Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的随意小的正数，且始终Δx≠0.这里的极限思想就是无穷靠近思想，即f′(x0)等于当x0＋Δx无穷靠近x0时，y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率．

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？

提示：无关．

1．在f′(x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)中，Δx不行能为()

A．大于0 B．小于0

C．等于0 D．大于0或小于0

答案：C

2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()

A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx

C．－3 D．0

解析：选Cf′(0)＝eq\o(lim