2024_2025学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用1.1变化率问题学案新人教A版选择性必修2.doc

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变更率问题

必备学问·自主学习

导思

1.什么是平均速度？什么是瞬时速度？两者有何联系？

2．什么是割线的斜率？什么是切线的斜率？两者有何联系？

1.变更率

对于高台跳水中运动员的重心相对水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数y＝h(t).

(1)平均速度

在t1≤t≤t2这段时间里的平均变更率：

①时间的变更量：Δt＝t2－t1．

②高度的变更量：Δy＝h(t2)－h(t1)．

③平均变更率eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(h（t2）－h（t1）,t2－t1)．

(2)瞬时速度

①瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

②极限：函数h(t)在t＝2处的瞬时速度是函数h(t)从2到2＋Δt的平均变更率在Δt→0时的极限，即eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))eq\f(Δy,Δt)＝

eq\o(lim,\s\do9(Δt→0))__eq\f(h（2＋Δt）－h（2）,Δt)．

(1)Δt，Δy以及平均变更率肯定为正值吗？

提示：Δt，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δt不能为零，平均变更率eq\f(Δy,Δt)可正可负可为零．

(2)函数平均变更率的几何意义

提示：如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变更率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＝eq\f(Δy,Δx).

(3)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗？

提示：不能，物体的瞬时速度是指某一时刻的速度，而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度．

2．抛物线的切线的斜率

(1)割线的斜率：设P0(2，f(2))，P(2＋Δx，f(2＋Δx))是抛物线y＝f(x)上随意不同两点，则割线P0P的斜率为eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,2＋Δx－2)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx).

(2)过点P0(2，f(2))切线的斜率：当P点渐渐靠近P0点，即Δx渐渐变小，当Δx→0时，瞬时变更率eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)就是y＝f(x)在2处的切线的斜率，即k＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx).

(1)曲线的割线P0P与曲线在P0的切线有什么关系？

提示：当横坐标间隔eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(Δx))无限变小时，点P无限趋近于点P0，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.

(2)曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？

提示：不肯定，如图所示，可知切线与函数的图象不肯定只有一个交点．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).

(1)在平均变更率的定义中，自变量x在x0处的变更量Δx可取随意实数．(×)

提示：(1)在平均变更率的定义中，自变量x在x0处的变更量Δx可以是正数，也可以是负数，但不能为0.

(2)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)公式中Δx与Δy同号．(×)

提示：(2)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)公式中Δx与Δy可能同号，也可能异号．

(3)物体在某一时刻t的瞬时速度即在[t，t＋Δt]上，当Δt较小时的平均速度．(×)

提示：(3)物体在某一时刻t的瞬时速度是当Δt→0时，平均速度的极限．

2．函数y＝f(x)，自变量x由x0变更到x0＋Δx时，函数的变更量Δy为()

A.f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx

C.f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)

【解析】选D.Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).

3．(教材练习改编)曲线y＝x2－2x＋4在点(1，3)处的切线的斜率为()

A.0B．1C．－1D．eq\f(1,2)

【解析】选A.k＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(1＋2Δx＋（Δx）2－2－2Δx＋4－3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))Δx＝0.

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