第五讲二阶常系数非齐次线性方程解析.ppt

复 习 小 结 例1. 例2. 二、 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 小 结: 例3. 例4. 内容小结 作 业 2. 二阶常系数齐次线性微分方程求解的一般步骤: （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构； 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构. 第五讲 二阶常系数非齐次线性微分方程 内容提要 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.（两种类型） 教学要求 掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.（难点） 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 一、 型 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 特别地 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 练习 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 利用欧拉公式将 f (x) 变形 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程④之解为 第七节例1 (P294)中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入④可得: ④ 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入④可得: 方程④的解为 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 . 可无限增大, 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动 强迫振动 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有 利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. ? 为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. * * * *