非齐次线性方程精要.ppt

例2 求欧拉方程 的通解． 解 作变量变换 原方程化为 特征方程为 根为 方程(2)的通解为 (1)的齐次方程为 (1) 设(1)的特解为 (2) (1) 代入方程(1) ，得 所给欧拉方程的通解为 (1)的通解为 特解为 解 (1)的齐次方程为 (1) 特征方程为 代入方程(1) ，得 (1)的通解为 非常系数线形微分方程可通过变量代换转化成常系数 线性方程求解. （2）方程变形为欧拉方程 2010校高数竞赛 14 §4.5 二阶线性非齐次方程 二阶线性非齐次微分方程的一般形式 其对应的线性齐次微分方程的形式为 定理1 设 y1与y2是二阶非齐次方程 的两个解，则 y1 - y2是对应齐次方程 的解. 一.二阶非齐次线性方程的解的性质与结构: 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: Y 是其对应的齐次方程L(y)=0的通解，则 非齐次通解 齐次通解 非齐次特解 上述结论对n阶也成立 解的叠加原理 上述结论对n阶也成立 定理3 的特解,则 证明: 是二阶线形非齐次微分方程的解,求此微分方程 是对应齐次方程的解, 故可设此方程为 是非齐次方程的解. 也是对应齐次方程的解, 所以方程为 解 例1 1. 二.二阶常系数线性非齐次方程的解法: 解 设非齐次方程特解为 ,代入原方程得 （1） 通过（1）用待定系数法可求出 （1） 综上讨论 记住此公式 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 注意 微分方程（k是重根次数）. 齐次线性方程的特征根求解法只适用于常系数的线性方程 例2. 写出下列微分方程的特解的形式 解 对应齐次方程为 其特征方程为 对应齐次方程为 其特征方程为 对应齐次方程为 其特征方程为 对应齐次方程 通解结构 ` 二阶常系数非齐次线性方程 0 解 对应齐次方程通解 特征方程为 特征根为 代入方程, 得 原方程通解为 （2010年） 对应齐次方程为 例3 例4 写出微分方程 的待定特解的形式. 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 解 同一类型不同函数需用叠加原理 例4 已知 利用欧拉公式可将右边转化为指数函数与多项式乘积类型，从而利用类型1求解。可得 非齐次微分方程的特解形式为 记住此公式 2. 例5 写出下列微分方程的特解形式 对应齐次方程为 特征方程为 对应齐次方程的特征方程为 解 对应齐次方程为 解 自由项是不同类型函数或同一类型不同函数需用叠加原理 O x y M T 例6 O x y M T 在上个方程两边关于x求导得, 原方程可化为 再次求导得, 方程(3)的特征方程为 (3)对应齐次方程的通解为 解 例6 令方程(3)的特解为 代入(3)式得 方程(3)的通解为 由(1),(2)知 解得 所求函数为 (1) 若将x看成自变量,y看成因变量,方程将化为 (2) 求此方程满足 解: (1) (2) 相应齐次方程的特征方程 例7 什么形式? 代入原方程得 齐次通解为 设非齐次特解为 代入(1)得, 所以(1)的通解为 故所求特解为 三、欧拉方程(特殊的变系数方程) 欧拉方程的形式 特点：未知函数导数的阶数与自变量的幂指数相同 变量代换可化为常系数微分方程. 解法: 作变量变换 将自变量换为t, f (x)的两种类型： L n次多项式 , n次多项式 2.二阶常系数非齐次线性方程的解法: 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 注意 微分方程（k是 的重根次数）. 将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量 的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后， 把 t 换为 lnx ，即得到原方程的解. 解 例1 求方程 代入原方程得 (1) 和(1)对应的齐次方程为 (2) (2)的特征方程为 特征根为 (2)的通解为 的通解． 设(1)的特解为 得(1)的通解为 故原方程的通解为