非线性方程和线性方程的数值解.pdf
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非线性方程的几种数值解法
郭摇
摘要 ：现在许多科学理论和工程技术问题都最终要化成非线性方程
f x =0 F x =0
（） 或非线性方程组 （） 的求解。对于非线性方程的数值
解法有很多种，如二分法，简易牛顿法，斯蒂芬森迭代法，牛顿迭:
代法，割线法等。
关键字非线性方程，数值解法:
1.概述
电脑硬件基本配置，处理器：Intelcorei3-380M，双核，主频
2.53GHZ DDR3 2GB 320GB.Matlab7.0
内存： ， 内存，硬盘： 版本。
在许多科学与工程问题总需要求解一个非线性方程：
F(x)=0 （）1
F(x) F(x) 1
的根，其中 是连续的非线性函数，当 为多项式时，方程 （）
F(x) x 1
是代数方程；当 为 的超越函数时，上述（ ）是超越方程，对
于非线性方程，求它的解析解有时很困难甚至不可能，因此选择数值
方法来求它的近似解，即数值解。
2.几种非线性方程的数值解法
2.1二分法
在求解非线性方程近似跟的方法中最简单最直观的方法是二分法，
二分法有称对分法。
f x [a,b] f(a)f(b)0
二分法基本思路：若 （）在 上连续，且有 ，则有
零点定理知，存在一点 使得c x∈ （a，b），使得f （c）=0。
二分法的算法：
1）取初始有更区间[a,b],满足f（a）f（b）0,以及相应的精度要求ε。
2）若(b-a)/2ε，则停止计算。
3）否则取x=(b-a)/2,如果f （a）f （b）0,b=x;否则a=x，转到步骤2。
基本代码如下：
functiony=second2(x0,x1,tol)
symsxf;
f=input(输入函数形式fx=);
e=x1-x0;k=0;
%b=eval(b);a=eval(a);
tic
whileetol
x=x0;
m=eval(f);
%x=b;
%n=eval(fun);
c=(x0+x1)/2;
x=c;
n=eval(f);
if m*n0
x1=c;
elseif m*n0
x0=c;
else
x0=c;x1=c
end
e=e/2;k=k+1;
end
x=(x0+x1)/2;
x%x为答案
k%k为次数
toc
2.2 牛顿迭代法
在求解非线性方程f(x)=0时，困难在于f(x)是非线性 ，为了克
服这一困难，考虑它的线性展开。
基本思路：设当前点X，在X 处 Taylor展开式为：
k k
f(X)≈f(X)+f (X)(X-X) (2)
k k k
令f(X)=0,可以得到方程的近似方程：
f(X)+f (X)(X-X)=0
k k k
当f (X)≠0，解其方程得到：
k
X =X-f(X)/f (X) k=0,1,2 (3)
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