数值-非线性方程数值解法解析.ppt

例 设a为正实数，试建立求 的Newton迭代公式，要求在迭代函数中不用除法运算，并要求当取初值x0满足 时，此算法是收敛的. 解 考虑方程 则 为此方程的根， ，用Newton法求 此方程根的迭代公式为 迭代函数不含除法运算. 递推可得 解得 当 时， ，从而 故 ，此算法收敛. 简化 Newton法与Newton下山法 简化 Newton法 一般地，取C= f‘(x0). 若 是一阶收敛的. Newton下山法 其中?为下山因子，?的选取应满足条件: ?f(xk+1)??f(xk)? 保证所得序列是收敛的. 重根情形 已知根的重数r 将Newton法修正为 它是求r重根的二阶收敛格式. 记ek+1 = α-xk+1 = 记 由f(α)=f?(α)=?=f (r-1)(α)=0有 G (j)(α)=0, j=0,1,2,?,r ; G (r+1)(α)=-f (r+1)(α) 在α处将G(xk), f?(xk)Taylor展开 从而它具有二阶收敛格式. 根的重数未知 将Newton法修正为 其中 u(x)=0单根就是f(x)=0的r重根，故它是求f(x)=0重根的 二阶收敛格式. 事实上 α 为u(x)=0单根. 例 方程x4-4x2+4=0的根?= 是二重根，用下列方法求根 (1) Newton迭代法(1.3.11); (2)修正的Newton迭代法 (1.5.2); (3)修正的Newton迭代法 (1.5.4) 解 三种方法的迭代公式： Newton迭代法 修正的Newton迭代法 (1.5.2) 修正的Newton迭代法 (1.5.4) 取初值x0=1.5,计算结果如表： 计算三步方法(2)和方法(3)均达到10位有效数字，而牛顿法只有线性收敛 ，要达到同样精度，需迭代30次. k xk 方法(1) 方法(2) 方法(3) 1 x1 1.458333333 1.416666667 1.411764706 2 x2 1.436607143 1.414215686 1.414211438 3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562 弦截法 弦截法 在方程f(x)=0的根α附近任取两初始近似根x0 ,x1 ，由迭代公式 逐次逼近f(x)=0的根α ，这种求根算法称为弦 截法. 收敛阶 ，效率指数 迭代加速收敛的方法 Aitken加速收敛方法 当序列{xk}为线性收敛时 当k较大时, , , 称为Aitken加速收敛方法 Steffensen加速迭代法 若{xk}为由不动点迭代法得到的序列， 又称为Steffensen加速迭代法. 当不动点迭代函数?(x)在根α的某邻域内 具有二阶导数，??(α)=L?1,且L?0，则Steffensen 迭代法是2阶收敛的. 第一章 非线性方程和方程组的数值解法 非线性方程根的概念 给定非线性方程f(x)=0 如果有α使得f(α)=0，则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)?0 ，则当m?2时，称α为f(x)=0的m重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则 f(α)=f?(α)=?=f (m-1)(α)=0, f (m)(α)?0 这里只讨论实根的求法. 求根步骤 （1）根的存在性. （2）根的隔离. （3）根的精确化. 非线性方程求根的数值方法 二分法 迭代法 单点迭代法(不动点迭代，Newton迭代法) 多点迭代法(弦截法） 迭代法是一种逐