数值分析非线性方程的数值解法.ppt

本文观看结束！！！ 例：用牛顿法解方程组 取初始值（1，1，1），计算如下 N x y z 0 1.0000000 1.0000000 12.1893260 1.5984751 1.3939006 1.8505896 1.4442514 1.2782240 1.7801611 1.4244359 1.2392924 1.7776747 1.4239609 1.2374738 1.7776719 1.4239605 1.2374711 1.7776719 1.4239605 1.2374711 练习： 3. Newton 迭代法是如何推出的? 它若在单根附近收敛,是几阶收敛?在重根附近是几阶收敛？求方程重根时,能达到2阶收敛的改进 Newton 迭代公式是什么 用牛顿法求方程 在区间 [1，2] 内 的一个实根，要求 2. 导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收敛性。 首先导出求根方程 ，再对 使用牛顿法 得迭代公式 ,用全局收敛性定理或局部收 敛性定理讨论其收敛性。 Newton 迭代法的收敛性 简单迭代法 下山迭代法 弦截法 弦截法 弦截法的几何表示 x0 X x* x1 x2 x3 Y f(x)0 P0 P2 P1 弦截法收敛性定理 用弦截法给出埃特金算法的几何解释 二、抛物线法 抛物线法计算公式 谢 谢 欣 赏！ * 方程是在科学研究中不可缺少的工具.方程求解是科学计算中一个重要的研究对象. 几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方程的求解公式.但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精确解法.对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法.因此,研究非线性方程的数值解法成为必然. Prove: (1)由g′(x*)=0?必存在?0，当x0∈ ［x* - ? ，x*+ ?］ ? U(x)时，由迭代格式(3)产生的序列{xk}收敛于x*,并有xk∈ ［x* - ? ，x*+ ?］ (2)由泰勒公式有xk+1=g(xk)=g(x* ）＋g′(x*)(xk- x*)+…+g (p-1) (x*)(xk-x*) p-1/(p-1)! + g (p)(x*+ ?(xk-x*))(xk-x*) p /p! ，0?1.  利用g在x*的各阶导数条件及g(x*)=x*,上式可改写成 (11) (3)由于g在x*处p阶连续可微且g(p)(x*)≠0，知必存在x*的某邻域Ｕ(x*)，当x∈U(x*)时，有g (p) (x)≠0. 由于x*+ ?(xk-x*) ∈ ［x* - ? ，x*+ ?］ ?U(x*)，故 g (p)(x*+ ?(xk-x*)) ≠0，k=0，1,2,…. 可见，当初值x0≠x*时，由(11)式可推出诸xk≠x* 于是由(11)式有 上式令k→∞取极限. 即{xk}有p阶收敛速度. Newton Iterative Method 牛顿法及其几何意义 收敛性及其收敛速度 计算实例及其程序演示 取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开: 重复上述过程 ? 作为第一次近似值 一、牛顿法及其几何意义 Newton 迭代公式 基本思路：将非线性方程f(x)=0 线性化 牛顿法的几何意义 x y x* x0 x 1 x 2 牛顿法也称为切线法 （局部收敛性定理） 设 f (x)?C2[a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根,且 f ?(x*) ? 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初始值 ，Newton 法产生的序列{ xk } 收敛到 x*，且满足 至少平方收敛 二、牛顿法的收敛性与收敛速度 在x*的附近收敛 由Taylor 展开： 令k?? ，由 f ?(x*) ? 0，即可得结论。 证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法 思考题1 若　　　 ，Newton法是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 m 重根，则令： 且 Answer1: 有局部收敛性 Answer2: 线性收敛 思考题2 当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？ 结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 ? 有根 根唯一