第三讲--非线性方程的数值解法.ppt

非线性方程 一、C++函数描述 数值计算方法常用头文件： #include stdafx.h“//--头文件预编译 #include math.h//--声明数学函数和宏 #include process.h//--声明进程管理的符号和结构 #include iostream.h//--包括用于C++程序标准输入和 //--输出操作的声明 #include fstream.h//--包括用于处理输入和输出文件的声明 #include iomanip.h//--包括出入/输出操作的声明 #include stdlib.h//声明数字转换和存储分配等操作函数 §1 二分法 /* Bisection Method */ 基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求出满足给定精度的根x*的近似值。 定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0则至少有一个数ξ使得f(ξ) =0，若同时f(x) 的一阶导数在[a,b]内存在且保持定号，即f(x)0(或f(x)0)则这样的ξ在[a,b]内唯一。 注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) 0 。 以此类推 几何说明： 或 对分次数的计算公式： 误差 分析： 二分法算法 给定区间[a,b] ，求f(x)=0 在该区间上的根x. 输入: a和b; 容许误差 TOL; 最大对分次数 Nmax. 输出: 近似根 x. Step 1 Set k = 1; Step 2 Compute x=f((a+b)/2); Step 3 While ( k ? Nmax) do steps 4-6 Step 4 If |x| TOL , STOP; Output the solution x. Step 5 If x*f(a)0 , Set b=x; Else Set a=x; Step 6 Set k=k+1; Compute x=f((a+b)/2);Go To Step 3 ; Step 7 Output the solution of equation: x; STOP. 程序： double function(double x) { return x*x-2; } void main() { double x_low,x_high,f_high,f_low, x_new,f_new; double eps,error; int iteration=1; cout\n输入下限：; cinx_low; cout\n输入上限：; cinx_high; f_low=function(x_low); f_high=function(x_high); if((f_high*f_low)0) { cout\n错误的归类。endl; exit(0); } cout\n输入误差值：; cineps; if(fabs(f_low)eps) { cout\n解是x_lowendl; exit(0); } if(fabs(f_high)eps) { cout\n解是x_highendl; exit(0); } do { iteration++; x_new=0.5*(x_low+x_high); f_new=function(x_new); error=fabs(f_new); if((f_new*f_low)0) { x_high=x_new; } else { x_low=x_new; f_low=f_new; } } while(error=eps); cout\n解是x_newendl; cout\n收敛于iteration次迭代endl; } 求解：x2-2=0；x3-3x2+4=0; x5+x3-2x2-7=0; x-cos(x)=0. §2 迭代法的理论 /* Iteration Method*/ 不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/ f (x) = 0 x = g (x)（迭代函数） 等价变换 思路 从一个初值 x0 出发，计算