第7章 非线性方程与方程组数值解法.ppt

第7章 非线性方程与方程组的数值解法;　　非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，从而产生非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱. 非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的. 但要用计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解. 从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别. 本章将首先讨论单个方程求根，然后再简单介绍非线性方程组的数值解法.;7.1 方程求根与二分法;　　如果函数f(x)是多项式函数，即;　　另外，非线性问题一般不存在直接的求解公式，故没有直接方法求解，都要使用迭代法求解，迭代法要求先给出根x*的一个近似，若f(x)∈C[a, b]且f(a)f(b)0，根据连续函数性质中的介值定理可知方程f(x)=0在(a, b)内至少有一个实根，这时称[a, b]为方程(1.1)的有根区间，通常可通过逐次搜索法求得方程(1.1)的有根区间.; 例1 求方程f(x)=x3-11.1x2+38.8x-41.77=0的有根区间.;7.1.2 二分法; 对压缩了的有根区间, 又可实行同样的步骤, 再压缩. 如此反复进行, 即可的一系列有根区间套; 若取区间[an , bn]的中点; 例2 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的实根,要求误差不超过0.005.;n;　　二分法的计算步骤:;7.2 不动点迭代法及其收敛性;可以如此反复迭代计算;当?(x)连续时，显然x*就是方程x=?(x)之根(不动点). 于是可以从数列{xk}中求得满足精度要求的近似根. 这种求根方法称为不动点迭代法, ;分别按以上三种形式建立迭代公式，并取x0=1进行迭代计算，结果如下：;准确根 x* = 1.124123029, 可见迭代公式不同, 收敛情况也不同. 第二种公式比第一种公式收敛快得多, 而第三种公式不收敛.; 例3表明原方程化为(2.1)的形式不同，有的收敛，有的不收敛，有的发散，只有收敛的的迭代过程(2.2)才有意义，为此我们首先要研究?(x)的不定点的存在性及迭代法(2.2)的收敛性.;7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性;显然f(x)∈C[a, b],且满足f(a)=?(a)-a0, f(b)=?(b)-b0, 由连续函数性质可知存在 x*∈(a, b) 使 f(x*)=0，即x*=?(x*)，x*即为?(x)的不动点.; 定理2 设?(x)∈C[a, b]满足定理1中的两个条件，则对任意x0∈[a, b]，由(2.2)得到的迭代序列{xk}收敛到?(x)的不动点x*，并有误差估计式;　　下面证明估计式(2.5)，由(2.4)有;　　又由于对任意正整数p有; 对定理1和定理2中的条件(2)可以改为导数，即在使用时如果?(x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有;　　例如，在前面例3中采用的三种迭代公式，在隔根区间(1, 1.2)内，有;7.2.3 局部收敛性与收敛阶; 定理3 设x*为?(x)的不动点，　　 在x*的某个邻域连续，且 ，则迭代法(2.2)局部收敛. ; 例4 用不同迭代法求方程x2-3=0的根 .;取x0=2, 对上式4种迭代法, 计算三步所得结果入下表.; 注意 ，从计算结果看到迭代法(1)及(2)均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件，迭代法(3)和(4)均满足局部收敛条件，且迭代法(4)比(3)收敛快，因在迭代法(4)中??(x*)=0. 为了衡量迭代法(2.2)收敛速度的快慢可给出以下定义.; 定理4 对于迭代过程xk+1=?(xk)，如果?(p)(x)在所求根x*的邻近连续，并且;因此对迭代误差，令k→∞时有;的三阶方法. 假设 x0 充分靠近 x*, 求;7.3 迭代收敛的加速方法;　　假设??(x)改变不大, 近似地取某个近似值L, 则有;在计算了x1及x2之后，可用上式右端作为x*的新近似,记作?x1，一般情形是由xk计算xk+1, xk+2，记;也称为埃特金 ( Aitken ) 外推法. 可以证明:; 例题 求方程 x = e –x 在 x=0.5 附近的根.;仍取 x0=0.5 , 得;7.3.2 斯特芬森(Steffensen)迭