计算声学第三章非线性方程的数值解法.ppt

第三章非线性方程的数值解法

科学技术研究与工程实践中，经常会

12程的问题，一般归纳为求解方程

遇到求解非线性方

f(x)0

其中是一元非线性实函数。根是超越函数（指数函数、对数函数、

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据是代数多项式还三角函数等），方程分

f(x)f(x)

5别称为代数方程或超越方程。6次代数方程：

nn1

nanxan1xa1xa00

7超越方程：

cosxlnx2ex0

第三章非线性方程的数值解法

对于代数方程，根的数目与方程的次数相同，不高于4

次的代数方程已有求根公式，高于4次的代数方程没有精确

的求根公式；超越方程则复杂得多，如果有解，可能是一个

或多个，或无穷多个，没有精确的求解公式。因此，需要研

究如何采用一定的数值算法求得满足一定精度要求的近似根。

l内容提要：隔根区间的确定、二分法、迭代法、

牛顿迭代法、弦截法

l重点内容：迭代法、牛顿迭代法

第三章非线性方程的数值解法

数值方法求方程f(x)0根的近似值，要解决三个问题：

1、根的存在性：方程有没有根，如果有根，有几个；

2、根的隔离：找出有根区间，把有根区间分成较小的子区

间，每个子区间只有一个根（隔根区间）；

3、根的精确化：确定了隔根区间后，可以用各种方法将某

一近似根逐步精确化。按照一定的方法产生一个序列

x*

，此序列在一定的条件下收敛于方程

x,x,,x,

01的根k。产生序列的不同方法就构成了不

{x}

同f(的x)方0程求根方x法。k

第三章非线性方程的数值解法

本征声线：从声源出发经过一

应用举例：本征声线求解

定的传播路径到达接收点的声

cos0cos

常数线，接收点处的声场是所有本

折射定律(Snell)：

c0cz征声线能量叠加的结果。

第三章非线性方程的数值解法

对于给定的海洋0,唯z一决定。设声x,z

环境，每条声线源位s于rr

线轨迹方程：

1的轨迹由声线的2处，接收点位于3

起始掠射角zc处os