第6章计算方法 非线性方程的数值解法.ppt

k xk xk+1-xk 0 0.5 1 0.56658 0.06658 2 0.56713 -0.00055 3 0.56714 0.00001 6.3 牛顿法 利用同解变换将f(x)=0化为同解方程 ，从而得出的迭代格式 ，往往只是线性收敛。为得出超线性收敛的迭代格式，通常采用近似替代法。 取前两项来近似代替 (称为f(x)的线性化)，得近似线性方程。 设 ，令所得x的近似值为xk+1，得： 1. Newton 法的迭代公式 （6-14）称为方程 f(x)=0 的牛顿迭代公式。 2. Newton 法的几何解释 k xk xk+1-xk 0 0.5 1 0.57102 0.07102 2 0.56716 -0.00386 3 0.56714 -0.00002 3. Newton 法的收敛性 定理6-5（非局部收敛性定理） 设f (x)在区间[a, b]上存在连续二阶导数，且满足： （1）f (a) f (b)0； （2） （3） （4）初始值 则牛顿迭代序列{xk}收敛于方程f (x)=0在[a, b]上的唯一根 。 定理条件f (a) f (b)0保证了根的存在， 保证了函数f(x)的单调性，根的唯一性。加上其他条件，则保证了xk的收敛性。 下面只证收敛性。假定 ，此时因为： ，可知 表明序列{xk}单调减而下有界，故必收敛。假设收敛 于 ，由牛顿迭代公式知：当 实际问题中导数 有时难以计算或计算工作量较大。 此时牛顿迭代格式中 可取为某个固定点的值，比如取为 ，或者取为常数c，迭代格式变为 这称为简化牛顿法。其迭代函数： 4. Newton 法的计算步骤 6.4 弦截法 Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时， Newton法无法进行。 快速弦截法 快速弦截法的几何表示 x0 X x* x1 x2 x3 Y f(x)0 P0 P2 P1 弦截法在求k+1次时只需要用到k次的值，而快速弦截法则需要用到k 和k-1两次的值。 小结 6.1 二分法 6.2 简单迭代法 6.3 牛顿法 6.4 弦截法 第6章 非线性方程的数值解法 6.1 引 言 6.2 简单迭代法 6.3 牛顿法 6.4 弦截法 6.1 引 言 方程求根大致包括三个问题： （1）根的存在性 （2）根的分布 （3）求根的公式 a x* x0 b a1 b1 k ak bk xk f(xk) 0 1 2 1.5 0.8750 1 1 1.5 1.25 -0.2969 2 1.25 1.5 1.375 0.2246 3 1.25 1.375 1.3125 -0.0515 4 1.3125 1.375 1.3438 0.0826 5 1.3125 1.3438 1.3281 0.0146 6 1.3125 1.3281 1.3203 -0.0187 7 1.3203 1.3281 1.3242 -0.0021 8 1.3242 1.3281 1.3262 0.0062 9 1.3242 1.3262 1.3252 0.0020 6.2 简单迭代法 k (1) (2) (3) (4) (5) 0 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1 -0.875 0.8165 1112 6.372 2.9969 1113 -469.7 (-8.65)1/2 1114 1.03×108 119 1125 1 二、迭代法的几何意义 O x*