计算方法 线性方程组的数值解法.ppt

第3章 线性代数计算方法 §1 高斯消去法 §2 高斯―约当消去法 §3 解实三对角线性方程组的追赶法 §4 矩阵的三角分解 §5 行列式和逆矩阵的计算 §6 迭代法 ? §7 迭代法的收敛性 AX=b 若A非奇异，即|A|≠0，则X=A-1b 克莱姆法则：则Xi=Ai / |A| 计算量： 一个n阶行列式，需要(n-1)*n!次乘法 要计算n+1个n阶行列式，需(n+1)(n-1)*n! X含有n个分量，要做n次除法，共需运算次数 (n+1)(n-1)*n!+n= (n2-1)*n!+n §1 高斯消去法 §1 高斯消去法 一、顺序消去法 1、三角形方程组的解法 2、一般线性方程组的解法 现举例如下: 解方程组 作②-①消去②中的x1,作③-①×4消去③中的x1,则方程组(3―6)化为 从方程组(3―6“)的方程③解出x3,将所得的结果代入方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出x1。这样可求出方程组的解为 上述求解方程组的方法就是高斯(Gauss)消去法。从式(3―6)到 (3―6“)的过程称为消元过程而由(3―6”)求出x3、x2、x1的过程称为回代过程。 因此用高斯消去法求解线性方程组要经过消元和回代两个过程。 2、一般的线性方程组 3、顺序高斯消去法的计算步骤： 在计算机上实现时,我们常把方程组右端的常数项排于系数矩阵的第n+1列， 1）消元过程 对于k=1,2,…,n-1列,若按顺序有某一ark≠0,r≥k,则交换k与r行,然后计算  4、计算量： 回代过程的计算 除法运算次数为n次. 乘法运算总次数为 1+…+(n-1) =n(n-1)/2 回代总次数 N2=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2 二、主元素消去法 用高斯消去法求解下列方程组(用四位有效数字计算): ②-①×1/10-5,得 (1.000-1.000×1/10-5)x2=1.000-0.6000× 1/10-5 化简可得 x2=0.6000 回代求得 x1=105(0.6-0.6000)=0 而方程组的解应为 x1=0.4000 x2=0.6000 x1+x2=1 ① 10-5 x1+x2=0.6 ② ②-①×10-5/1，得 (1000-1000×10-5)x2=0.6-1.000×10-5 化简得 x2=0.6000 回代求得 x1=(1-0.6000)=0.4000 1.列主元素消去法 所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。对线性方程组(3―1)进行n-1次消元后,可得到上三角形方程组 必须指出的是方程组(3―13)中的系数aij(i≤j)和右端的bi已经改变了,并非与原来相同。这样就可对方程组(3―13)回代求解。 取四位有效数字计算。 解：第一列消元时，②中-18为主元,交换②和①得 ②+①×12/18,③+①×1/18得 ③+②×1/1.167得 列主元素消去法的计算过程: (1)消元过程。对于k=1,2,…,n-1进行下述运算: ①选主元,确定r,使得 若ark=0,说明系数矩阵为奇异,则停止计算；否则进行下一步。 ②交换A的r、k两行 ③对i=k+1,k+2,…,n,j=k+1,k+2,…,n+1计算 2. 全主元素消去法 所谓全主元素消去法,就是每步消元时选取系数子矩阵中绝对值最大的元素作主元。经过n-1次消元后,方程组(3―1)可化为上三角形方程组 注意：