第2章 非线性方程的数值解.ppt

* 第*页 §2.3　Newton 迭代法（略） * 第*页 * 第*页 3.Newton迭代法收敛定理（定理 2.5）（略） 则 Newton 迭代法（2.12）产生的数列 收敛到根α。 为例证明（其它情况类似） * 第*页 （略） * 第*页 例6 （略） 解：设 用 Newton 迭代法求 * 第*页 * 第*页 x y xn Xn+1 Xn+2 tn(x) tn+1(x) 0 2.3 牛顿（Newton)法 解非线性方程 f(x)=0的牛顿(Newton)法，就是将非线性方程线性化的一种方法。牛顿法具有实用面广，收敛快等优点。 2.3.1 方法介绍 所谓牛顿法，就是用f(x)=0的解的近似值xn(n=0,1,2,…)的切线方程 图2.4 (2.11) 作为f(x)的近似表达式，然后取tn(x)=0的解xn+1作为f(x)=0的解的进一步近似，如图2.4所示。 由式(2.11)，令tn(x)=0就得到了牛顿法的迭代公式 (2.12) * 第*页 由图2.4可以看出，牛顿法实际上是在每一步都使用不同的切线方程去逼近非线性方程。因此，牛顿法也称为切线法，它是一种将非线性方程线性化的方法。 由迭代格式(2.12)可知，牛顿法是一种特殊的迭代法，其迭代函数 在f(x)及其导数满足一定条件的情况下，通过选择适当的初始值x0，迭代格式(2.12)所产生的迭代序列{xn}将收敛。 (2.13) * 第*页 2.3.2 牛顿法收敛的充分条件 定理2.5 设函数f(x)在闭区间[a,b]上存在二阶导数且满足条件： ⑴ 在区间[a,b]上保号； ⑵ ⑶ ⑷设 且 则牛顿迭代格式(2.12)产生的迭代序列{ }收敛于方程 f(x)=0的一个解 。 （证明P32略） * 第*页 * 第*页 * 第*页 * 第*页 例6 设 c 为正实数，导出用牛顿法求 的公式，并证明迭代序列的误差 满足关系式 解 设 ；则 ，所以 由于 所以f(x)＝0在区间[0, +1]内有一正根。又由于在区间 内， ，若取 ，则 在区间 内满足定理2.5的条件，所以收敛的牛顿迭代式为 * 第*页 记 ，则有 * 由例6中误差满足的关系式(2.14)，可得 对上式取极限可得 由此可知，在用牛顿法求 时是2阶收敛的。 (2.14) * 第*页 2.3.3 牛顿法的收敛阶 定理2.6 设函数f(x)充分光滑，对于方程f(x)=0： ⑴ 若在区间(a,b)内存在单根 ，则用牛顿法求 的近似解时是2阶收敛的。 ⑵ 若在区间(a,b)内存在m(≥2)重根 ，则用牛顿法求 的近似解时是线性收敛的。 （证明P35略） 写出求 * 第*页 2.3.4 计算步骤和程序框图 牛顿法的计算步骤为： ⑴ 选定初值 ，计算 ⑵ 按公式 迭代，得新的近似值 ，并计算 ⑶ 对于给定的允许精度 ，如果 ，则终止迭代，取 ；否则 ，再转回步骤⑵计算。 图2.6给出了用牛顿法求非线性方程f(x)=0解的程序框图，其中N为设定的最大迭代次数。 * 第*页 1→k 输出迭代失败标志 结束 开始 输出 x1 输出奇异 标志 = ≥ = ≠ ≠ 图2.6 * 第*页 f(x) x 0 -1 -2 1 1 2 3 4 5 6 8 7 例7 求方程 的解。 解 粗略地绘出函数 的草图，如图2.7所示。 图2.7 * 第*页 对函数f(x)求导可得 若取初值x0=3，用牛顿法求解例7的迭代格式为 经计算可得： x1=1.15999,x2=0.189438, …,x5=0.783595,x6=0.783599. 若只需6位有效数字，则 x6＝0.783599。 * 第*页