3.3最佳一致逼近多项式.ppt

3.3 最佳一致逼近多项式 3.3.2 最佳一次逼近多项式 3.4 最佳平方逼近 3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近 3.5 曲线拟合的最小二乘法 由（4.5）可得均方误差为 （4.10） 由此可得贝塞尔(Bessel)不等式 （4.11） 若 ， 按正交函数族 展开， （4.12） 称这个级数为 的广义傅里叶(Foureir)级数， 讨论特殊情况，设 是正交多 项式， 可由 正交化得到，则有下面的收敛定理. 得级数 系数 按（4.8）计算， 系数 称为广义傅里叶系数. 它是傅里叶级数的直接推广. 定理7 设 考虑函数 （4.13） 的最佳平方逼近多项式， 是由（4.9）给出的 其中 是正交多项式族， 则有 展开， 由(4.8)，(4.9)可得 按勒让德多项式 根据均方误差公式(4.10)，平方误差为 （4.15） 由定理7可得 其中 （4.14） 如果 满足光滑性条件,还有 一致收敛于 的结论. 公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式 ， 定理8 则对任意 和 当 充分大时有 设 由(4.13)给出， 它具有以下性质. 证明 设 是任意一个最高次项系数为1的 次 定理9 勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小. 在所有最高次项系数为1的 次多项式中， 多项式， 它可表示为 于是 当且仅当 时等号才成立， 即当 时平方误差最小. 例6 求 在 上的三次最佳平方逼近多项式. 解 先计算 由傅里叶系数计算公式(4.14) 得 代入(4.13) 得三次最佳平方逼近多项式 最大误差 如果 求 上的最佳平方逼近多项式， 均方误差 做变换 于是 在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式 直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致 的. 由于勒让德多项式 是在区间 上由 只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能 使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题， 因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式. 正交化得到的，因此利用函数的勒让德展 开部分和得到最佳平方逼近多项式与由 3.5.1 最小二乘法及其计算 在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 的 曲线拟合. 记误差 则 的各分量分别为 个数据点上的误差. 问题为利用 求出一个函数 与所给数据 拟合. 设 是 上线性无关函数族， 在 中找一函数 ， 使误差平方和 （5.1） 这里 （5.2） 这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的 最小二乘法. 用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式. 确定 的形式问题不仅是数学问题, 还与问题的 实际背景有关. 通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图, 确定 的形式, 然后通过实际计算选出较好的结果. 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中 考虑加权平方和 （5.3） 这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同. 就是 次多项式. 若 是 次多项式， 的一般表达式为（5.2）表示的线性形式. 这样，最小二乘问题就转化为求多元函数 （5.4） 的极小点 问题