第六章 正交多项式和最佳一致逼近.ppt

三、契比雪夫多项式的应用 推论1、若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则f (x) 在H的最佳一致逼近多项式就是f (x)在区间[a, b]上的某个n次插值多项式 pn (x)， 推论2、若f (x)是区间[a, b]上有n +1阶导数，且f(n +1)(x) 在区间[a, b]上恒正或恒负，那么区间[a, b]的端点a, b属于f (x) －pn (x) 的交错点组。 a b x1 f(x) P1(x)=a0+a1x 最佳一致逼近计算过程 例.求函数f(x)=ex在区间[0，1]上的线性最佳一致逼近多项式。 求函数f(x)=x2在[0, 1]上的线性最佳一致逼近多项式。 因此，s4(x)=2.532132+1.130318x+0.271495T2(x)+0.044337T3(x)+0.005474T4(x) * 计算方法与数值计算 University of Shanghai for Science and Technology College of Science 上 海 理 工 大 学 理 学 院 函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准为：一致逼近、 平方逼近 (一) 一致逼近 以函数f (x)和p (x)的最大误差 作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近 对于任意给定的一个小正数? 0，如果存在函数p (x)，使不等式 成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用 作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。 §1 正交多项式 一、正交函数系的概念 考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[-? ,? ] 上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[-? ,? ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。 若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为： 那么这个函数系在[-? ,? ]上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的(规范的) ，即每个函数的平方在区 [-? ,? ]上的积分等于1。 1．权函数 定义1 设? (x)定义在有限或无限区间[a, b]上，如果具有下列性质： (1) ? (x) ≥0，对任意x ?[a, b]， (2) 积分 存在，(n = 0, 1, 2, …)， (3) 对非负的连续函数g (x) 若 则在(a, b)上g (x) ? 0 称? (x)为[a, b]上的权函数 2．内积 定义2 设f (x)，g (x) ? C [a, b]，? (x)是[a, b]上的权函数， 则称 为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 ? (x)为权函数的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 ? f = 0； (2) (f, g) = (g, f )； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。 3．正交 定义3 设 f (x)，g(x) ?C [a, b] 若 则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权? (x)正交。 定义4 设在[a, b]上给定函数系{?k(x)} ，若满足条件 则称函数系{?k (x)}是[a, b]上带权? (x)的正交函数系。 若定义 4中的函数系为多项式函数系，则称为以? (x) 为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上 带权? (x)的n次正交多项式。 特别地，当Ak ? 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 二、常用的正交多项式 1．切比雪夫(чебыщев)多项式 定义 5 称多项式 为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。 切比雪夫多项式的图形： T0(x), T1(x), T2(x), T3(x) 切比雪夫多项式的性质： (1) 正交性： 由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权 的正交多项式序列。且 (2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： (3) 奇偶性： 切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数