第六章 勒让德多项式.ppt

* 西安理工大学应用数学系 西安理工大学应用数学系 * 第六章 勒让德（Legendre）多项式 －－－－－－特殊函数之二 1 Legendre方程的导出 §6.1 　Legendre方程及其求解 引例：求解下列问题 用分离变量法求解。令 在球坐标下方程为 代入方程得 n为实数或复数 Euler方程 m是正整数，以保证 以 为周期 连带的勒让德方程 勒让德方程 2. Legendre方程的解 用幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为 各阶导数为 代入方程，整理，得 注意 于是由幂级数展式的唯一性，有 于是 其中　　　为任意常数，则方程的解为　　　 由　　　的任意性知，下列两个函数也是方程的解：　　　 的性质： （１）线性无关，故得到了Legendre方程的通解 （２）收敛区间均为（－１，１），在端点发散，因而Legendre方程在[-1,1]内没有有界解。 （3 ）当n是正整数时，一个解为多项式Pn(x)，在[-1,1]有界，另一个仍为无穷级数，记为Qn(x)，在[-1,1]内无界，通解为 Qn(x)称为第二类Legendre函数。 §6.2 　勒让德多项式 讨论勒让德方程中的参数n，考察系数递推关系式 情形（１）　当n不取整数时，若　　　不为零，则　　不为零，这时　　　　　　　均为无穷级数，且收敛域为（-1, 1）　　　 情形（２）　当n取整数（包括零）时，　　　　　　中有一个是多项式，另一个是无穷级数。 举例分析 1. Legendre多项式 如n=4，这时 如n=-4，这时 如n=5，这时 不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 取　　　　　　　，代入上式，并化简得　　　　　　 分析n的奇偶性：　　　　　　 当n为偶数时，有系数　　　　　　　　　　，对应多项式　　　　　　　　　 为关于x的偶次方的多项式　　　　　　 当n为奇数时，有系数　　　　　　　　　　，对应多项式　　　　　　　　　 为关于x的奇次方的多项式　　　　　　 n次Legendre多项式 统一写法，有　　　　　　 称为n次Legendre多项式或第一类Legendre多项式 Legendre多项式微分形式或称为罗德利克公式：　　　　　　 前几次Legendre多项式及其图形　　　　　　 注意其定义域　　　　　　 2. Legendre多项式的母函数 证明：　　　　　 称为w(x, z) 为Pn(x)的母函数。　　　　　 对函数w(x, z) ，当　　　时，在单位圆 内是　 解析函数，于是由复变函数理论，将w(x, z) 展成幂级数 其中 C是单位圆内包含原点z=0的任何封闭曲线。 做自变量代换 ，即 则 显然，z平面上的点O对应于u平面上的点x，z沿C一周，相应的u绕点x也沿某闭曲线C’一周，因此 又 于是 3. Legendre多项式的性质 x=1 x=-1 x=0 基本性质 以-x代 x 以-z代 z 奇偶性 递推公式 对z求导 对x求导 ｝ 整理得 即 ｝ 整理得 正交性 在[-1,1]上正交，即　　　　　　 先证明： 所以 * 西安理工大学应用数学系 西安理工大学应用数学系