第六章 勒让德多项式.ppt

第一节 齐次方程的变量分离法 第六章 勒让德多项式 6.1 勒让德方程的引出 6. 2 勒让德方程的求解 6. 3 勒让德多项式 6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数 * * * * * * 勒让德方程的引出 勒让德方程的求解 勒让德多项式 函数展开成勒让德多项式的级数 6.1 勒让德方程的引出 在球坐标系下 Laplace方程的表达式为 令 代入上式得 用 遍乘各项并移项整理，即得 6.1 勒让德方程的引出 引入参数 分解整理得 欧拉型方程 球函数方程 欧拉方程通解 为任意常数。 6.1 勒让德方程的引出 求函数方程两端同时乘以 并移项得 引入参数 分解可得两个常微分方程 6.1 勒让德方程的引出 6.1 勒让德方程的引出 第一个方程与自然周期条件 结合，构成本征值问题 解之可确定本征值 和相应的本征函数 6.1 勒让德方程的引出 第二个方程为 连带的勒让德方程 令 ，并记 勒让德方程 m=0时 6.1 勒让德方程的引出 6. 2 勒让德方程的求解 考虑勒让德方程 将其代入勒让德方程，得 令 整理 比较可得 c =0时 6. 2 勒让德方程的求解 依此可得 递推公式 6. 2 勒让德方程的求解 其中 6. 2 勒让德方程的求解 6. 3 勒让德多项式 可以将其它系数一一推算出来，即 取 将6.2中的递推公式写成 有 6. 3 勒让德多项式 一般地当 时，有 当n为正偶数时，将这些系数代入到 中得到 6. 3 勒让德多项式 n为正奇数时，将这些系数代入到 中得到 这两个多项式可以统一写成 n 阶勒让德多项式 6. 3 勒让德多项式 0～4阶Legendre多项式为 勒让德多项式的微分表达式 多项式的Rodrigues表达式 6. 3 勒让德多项式 当为整数时,取 中总有一个是勒让德多项式，在[ －1，1 ]上有界， 这时另一个函数仍是无穷级数，记作 此时Legendre方程的通解为 称为第二类Legendre函数，它在[ -1，1 ]上 仍是无界的. 6. 3 勒让德多项式 1 勒让德多项式的正交性 称为勒让德多项式的模值。 是一个正交的函数系. 6. 4 函数展开成 勒让德多项式的级数