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第六章 常微分方程问题
在研究自然科学与工程技术中某些变化规律时,我们往往只能得到有关这些规律的变化
律的特性。为从这些特性中寻找运动规律的本质,产生了微分方程理论。针对一元函数与多
元函数微分方程的研究已发展成为常微分方程与偏微分方程两大分支,这是微积分方法和理
论在解决问题时的综合体现。由于用解析法求解微分方程问题的局限性(用解析法能求解的
方程类型非常有限),用数值方法解决问题显示了计算机高性能计算的优点。正是数值方法
的发展拓宽了微分方程的应用范围。本章的实验是人口数量的发展规律问题和追击曲线问
题。其目的不仅是为了引入常微分方程的实际应用,也渗透了从离散到连续以及数值计算中
处理连续问题的方法。
§6.1 人口数量发展的规律问题
物种的生长与衰亡是自然界最基本的现象,对人口数量的发展,西方曾提出若干的数
学模型。这些模型已不仅仅应用于人口数量的预测,它们已广泛应用于物理、生物等自然科
学,金融、经济和管理等社会科学;甚至应用于文学和艺术等范畴。
这里给出这几种发展预测模型,并用 Malthus 及其改进模型来预测我国人口数量。
一、数学模型
1.离散的 Malthus 模型
是英国神父 Malthus 于 1798 年在他的“人口论”中提出的一个模型。
设nP )( 是人类某群体在第n 个时间段(例如年)末时的总数,若在单位时间段内人口
相对增长率为 b(Malthus 认为 b 是出生率与死亡率之差),那么人口增长数与原人口数成正
比,从而
Δ = + ? = nbpnPnPnP )()()1()(
于是
=+ + Δ = + nbPnPnPnPnP )()()()()1(
得一阶差分方程
P(n+1) = (1+b)P(n)
反复递推,得
nP nPbbnPb 2 nPb ?+=?++=+=+ )1()1()1()1)(1()()1()1(
n+1
LL +== Pb )0()1(
当 b0 时,随着 n 的增大,P(n)无限增大,就象马尔萨斯所说的,“人口按几何级数增大”。
另一方面马尔萨斯认为在第 n 年可提供的粮食数量 F(n)只能通过在有限土地上的耕作而增
加,充其量是
F(n + 1) = F(n) + c
其中,c 是常数,这样粮食的数目
F(n + 1) = F(0) + c(n + 1)
只是按“算术级数增大”。
2.verhulst 模型
荷兰科学家 verhulst 在 1840 年提出:由于生存资源的有限性,物种成员之间的竞争与
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约束必定影响它们的数量增长。他把 Malthus 模型修改为
?=Δ nPcnbPnP ))(()()( 2 (6.1)
其中 ? nPc ))(( 2 为竞争或约束项,表明单位时间内由于竞争或约束而减少的群体个数与成
员相遇次数的统计平均值(从而与nP ))(( 2 )成正比。b,c 通常由统计数字确定(有时称
为生命系数),进一步可把(6.1)式改为
?+
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