第六章 常微分方程数值解(龙格-库塔法).ppt

繁复 用到两次Tylor展开 首先用到二元函数的Taylor级数展开式 对k2做二元函数的Taylor级数展开 简记： 则： k2？ 展开有： 代入6.6： 即6.7 另一方面…… 对y(x)做一元函数的Taylor级数展开 则： 其中 （复合函数求导） 于是6.8 假设 于是6.8变成 从上式看， 要使6.6式 yn+1 = … 的局部截断误差为O(h3)，需使 小结 单步递推 一推：四阶要四次计算f(x,y) 例6.3 无他，死套公式 结果见表6-3 与表6-1（欧拉法）比，步长大，而精度反而高 6.2 常微分方程组和高阶常微分方程 （6.15）化为一阶方程组 如何化？ （6.16） 例子6.5 考点 欧拉 改进欧拉 其余：理解和思索、联想和想象（力） * * 线索：回顾拉格朗日中值定理 若f(x)在[a, b]上连续，且f(x)在(a, b)内可导，则存在 ξ∈[a, b]，使： 四、龙格-库塔方法 6 常微分方程数值解法 龙格-库塔方法的来源 平均斜率 龙格-库塔方法 xn xn+1 龙格-库塔方法（特例） 欧拉法 改进欧拉法 xn xn+1 即 即 1. （更一般地）二阶龙格-库塔方法 （选k1，k2）： xn为一点，区间[xn, xn+1]再选一点 对斜率做加权平均： xn xn+1 xn+p 其中 k*= （于是得到）二阶龙格-库塔方法（公式6.6） 二阶精度 若4个参数定，则可计算。k1已定，找其余3个 见教材P87下面 回顾6.7，y(xn+1)的近似值yn+1 6.8减去6.7，真值与近似值之间的差 于是 xn xn+1 若 若 xn xn+1 xn+1/2 2. （类似地，有）四阶龙格-库塔方法 用龙格 - 库塔法解初值问题 y’ = x2 – y (0≤x≤1) y(0) = 1 取 h = 0.1 补充：四阶龙格-库塔方法计算实例 二、二阶常微分方程初值问题的数值解 *