六章微分方程模型.ppt

2. 在香烟燃烧的任何时刻 求毒物在单位时间内通 过 的数量 因为在时刻 时，香烟燃至 处，记此时点燃的 烟草在单位时间放出的毒物量为 则 仿1可得 ⑸ ⑹ 3.确定 由于在吸烟过程中，未点燃的烟草不断得吸收烟雾中 的毒物，所以毒物在烟草中的密度 由初始值 逐渐增加。考察烟草截面 处在 时间内毒物密度的增 量 根据守恒定律它等于在单 位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，由假设4，则有 令 并将⑸、⑹代入得方程 此方程为偏微分方程，该方程的解为 ⑼ 其中 （由假设2） 4. 计算 将⑼代入⑺中，得 ⑽ 最后将⑽代入⑴式作定积分得： ⑾ 为便于对结果的分析，将上式写成 ⑿ 记 则⑿式可写成 ⒀式即是我们需要的最终，该式表达了吸入量 与 等因素之间的关系。 结果分析 1. 与烟草含毒物量 、毒物随烟雾沿香烟穿行比例 成正比。可以设想为将毒物 集中在 处，则吸 入量为 2.因子 体现了过滤嘴对减少毒物进入人体的作 用，提高过滤嘴的长度 及吸收率 降低穿行速度 也可降低吸入量。 3. 因子 表示的是未点燃的烟草对毒物的吸收而起 到的减少 的作用。 根据实际数据有 则 4. 比较 为了比较过滤嘴的作用，取两支香烟作比较，两支香 烟的长度均为 一支带过滤嘴，长度为 吸入量分别 为 则有 可见只要 过滤嘴就体现了相应的作用。 三、烟雾的扩散和消失 问题的提出 一颗炮弹在平原上爆炸，放出的烟雾以爆炸点为中心 向四周迅速扩散，形成一个近似于圆形的不透光区域。 由于这个这个区域逐渐增大，其边界逐渐明亮起来，不 透光区域逐渐变小，最后烟雾完全消失。本节建立一个 相应的数学模型来描述烟雾的扩散和消失的过程，分析 消失的时间与哪些因素有关。 问题的分析 爆炸引起的烟雾传播可以看成是无穷空间由瞬时点源 导致的扩散过程。能够用二阶抛物型偏微分方程描述烟 雾浓度的变化规律。 整个建模过程应当包括能够：烟雾浓度的变化规律； 穿过烟雾的光的强度的变化规律，仪器辨别亮暗的灵敏 度的描述；不透光区域边界的变化过程等。 模型假设 1. 炮弹的爆炸看作是在空中某一点向四周等强度地瞬 时释放烟雾，烟雾在空间扩散，不计风力和大地的影 响； 2.烟雾的传播遵从扩散定律：即单位时间通过法向面 积的流量与它的浓度成正比； 3.光线穿过烟雾时其强度由于烟雾的吸收而减少,单位 距离上光强的相对减少量与烟雾浓度成正比,没有烟雾的 大气对光线的吸收作用忽略不记； 4.在烟雾的扩散过程中，不穿过烟雾直接进入观测仪 器的标准光强 保持不变，对于穿过烟雾而进入仪器的 光强 观测结果只有亮暗之分，仅当 时观测 结果为量。 称为仪器的灵敏度。 建模 将爆炸时刻记为 爆炸点设为坐标原点。在时刻 时空间中任一点 的烟雾浓度记为 由假设2，单位时间通过单位法向面积的流量 ⑴ 其中 是扩散系数，负号表示由浓度高向浓度低的地方 扩散。设空间区域 的体积为 包围 的曲面为 的外法向量为 则在时间区间 内，通过 的 的流量为 ⑵ 而 的烟雾增量为 ⑶ 由质量守恒定律，知 由高斯公式，有 由积分中值定理得： ⑷ ⑸ 再由假设1，初始条件为在坐标原点的点源函数，记为 其中 表示烟雾总量， 是单位强度的点源函 数。 方程⑸的解为 方程的解说明：在任何时刻 烟雾浓度函数 的等值面 为球面 并且当 时， ⑹ 2.穿过烟雾的光