微分方程模型(一).ppt

第四讲 微分方程模型（一） 微分方程模型 涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑” 等等词语的确定性连续问题。 1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式 变化率（微商）=单位增加量--单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。 3、用微元法建立微分方程； 4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）； 5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）； 6、模型和结果的讨论与分析。 模型1 饿狼追兔问题 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ 模型2 尸体冷却问题 受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。 分离变量积分得： 模型4 （××）赝品的鉴定 * * 生活中的数学智慧 b、微分方程建模的基本手段 微元法等 a、微分方程建模的对象 c、微分方程建模的基本规则 2、对问题中的特征进行数学刻画 y x h y=f(x) B -60 A(100,0) C(x,y) O 解 首先建立坐标系，兔子在O处，狼在A处。由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹是y=f(x)， 则有 ， 又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有 整理得到下述模型 这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹 因 ，所以狼追不上兔子。 解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。 设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。 人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即： 由T(0)=21.1+a=32.6 得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4 得e-k＝115/103，即k=0.11，所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t 当T=37℃时，有t=-2.95 小时＝-2小时57分，8小时20分－2小时57分＝5小时23分。即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。 模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。 问题 模型3 香烟过滤嘴的作用 模型假设 定性分析 1）l1~烟草长， l2~过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a′:a, a′+a=1 3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和? 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u Q ~ 吸一支烟毒物进入人体总量 模型建立 0 t=0, x=0，点燃香烟 q(x,t) ~ 毒物流量 w(x,t) ~ 毒物密度 1) 求q(x,0)=q(x) t时刻，香烟燃至 x=ut 1) 求q(x,0)=q(x) 2) 求q(l,t) 3) 求w(ut,t) 4) 计算 Q 结果分析 烟草为什么有作用? 1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素，?, l2 ~ 负指数作用 是毒物集中在x=l1 处的吸入量 3）?(r)~ 烟草的吸收作用 b, l1~ 线性作用 带过滤嘴 不带过滤嘴 结果分析 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，