常微分方程模型课件.ppt

附:基于MATLAB的常微分方程（组）的数值求解 要求解微分方程（组）dy/dx=f(x,y)，可如下调用： [X,Y]=ode45(f,[x0,xn],y0) 函数在求解区间[x0,xn]内，自动设立采样点向量X，并求出解函数y在采样点X处的样本值Y。 f是一个函数，要有两个参数，第一个参数是自变量x，第二个参数是因变量y。 y0=y(x0)给定方程的初值。 %例1：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在[1，3] 区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。 function example1() clc; clear; [X,Y]=ode45(@fxy,[1,3],2); x=X %显示自变量的一组采样点 y=Y %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 y1=(X.^2+1./X.^2) %显示求解函数与采样点对应的一组解析解 dy=y-y1 %显示求解函数与采样点对应的一组解析解 function f=fxy(x,y) f=-2*y/x+4*x; 例2: 求解常微分方程组初值问题在区间[0,4]中的解。 * * 微分方程建模 案例一、价格波动模型 “ 商品价格变化的两大特点 ” ： 平衡价格应是 商品供需平衡 的价位； 趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征 建立在 市场经济 下 价格变动模型 具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低 的价格将会 自动趋于平衡 。 建模目的：建立一个价格随时间演变, 以 阻尼振荡 方式 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。 (3) 商品价格的变化速度 p’ ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 有关. 假定它们之间成 正比 : (2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ; 建模假设： (1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 : 模型建立： 模型分析： 当 时 , 当 时 , 结论未能达到建模目的！ 说明商品价格是 单调 地趋向平衡价格. 建模假设的 修改 ： (3)* 商品价格的变化速度 p’ ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 对时间 t 的 累积量有关 ( 即考虑过剩 需求的时间滞后效应 ) . (2) 商品供应 S ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为 线性关系 ; (1) 商品需求 D ( t ) 随价格 p ( t ) 的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为 线性关系 : 假定它们之间成 正比 : 模型再建立： 商品价格随时间演变而处在 等幅震荡 之中。 结论还未能达到建模目的！ 建模假设的 再次修改 ： 假设 (1) 、(2) 不变 ； (3)** 商品价格的变化速度 p’( t ) 不仅与市场过剩需求 D ( t ) – S ( t ) 对时间 t 的累积量有关 , 还与当时的价格与平衡价格 p* 的 偏差程度 有关 ( 即考虑健全的市场有政府宏观调控因素 ) , 假定它们之间也成 正比 ， 且比例系数 仍假定它们之间 成 正比 ; ( 强调政府宏观调控只是微调 ) 。 模型又一 次建立： 商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡 现象 。 该结论达到建模目的！ 模型是合理的 案例二 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 已感染人数 (病人) x(t) 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为? 模型1 假设 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)