第六章 微分方程 第一节 常微分方程的基本概念.ppt

CH1_ 第一节 常微分方程的基本概念 两个实例 常微分方程的基本概念 一 两个实例 二 常微分方程的基本概念 第一节 微分方程的基本概念 第十二章 微分方程 引例1 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程 . 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式. 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 或 且代入微分方程 使方程成为恒等式， 即 则称函数 为方程 的解。 例如 为方程 的解。 为方程 的解。 微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意 通解: 常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线:解的图象 积分曲线族:通解的图象. 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 定解条件： 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.