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6.1微分方程的基本概念 一、教学目标： 通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：掌握微分方程的定义； 二级目标：理解微分方程的阶、通解、特解概念。 二、教学内容和重、难点： 1.微分方程 2.微分方程的阶 3.微分方程的解 4.微分方程的通解及特解 5.微分方程的积分曲线族 重点：微分方程的概念、微分方程的阶、微分方程的解。 难点：微分方程的通解、积分曲线族 三、教学方法和教具使用： 讲授法。 四、教学过程： 6.1.1微分方程的基本概念 例1 放射性元素的质量随着时间的延长而逐步减少，这称为衰变现象.由实验得知，在任一时刻，镭的衰变速率与该时刻镭的质量（即所存量）成正比.假定镭在初始时刻的质量为，试求镭的衰变规律. 解 设镭在时刻时的质量为，则 （1） 因镭在初始时刻的质量为，故 ，或写为 （2） （1）式改写为 两边积分 又，故 例2 列车在平直线路上以20米/秒（相当于72公里/小时）的速度行驶；当制动时列车获得加速度问开始制动后多少时间列车才能停住，以及在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后秒内行驶了米. 根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数应满足方程 （1） 此外，未知函数还应满足下列条件： （2） 把方程（1）两端积分一次，得 （3） 再积分一次，得 （4） 这里都是任意常数. 把条件代入（3）式，得 把条件代入（4）式，得 把的值代入（3）及（4）式，得 （5） （6） 在（5）式中令，得到过列车从开始到制动到完全停住所需的时间 （秒）. 再把代入（6）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 （米）. 例3 一曲线通过原点，且在该曲线上任一点处切线的斜率为，求这曲线的方程. 解 根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足 （1） 此外，未知函数还应满足下列条件： 时，（即） （2） 把方程（1）两端积分，得 ，即 （3） 其中是任意常数. 把条件时，代入（3）式，得 由此定出把代入（3）式，得所求曲线方程： 6.1.2基本概念 1.微分方程 我们把表示自变量、未知函数及它的导数（或微分）之间关系的方程叫做微分方程（注：微知函数或未知函是的微分一定要出现）.若未知函数是一元函数，则这种微分方程叫常微分方程. 2.微分方程的阶 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶. 3.微分方程的解 如果把一个函数代入微分方程，能使之成为恒等式，那么这个函数就称为这个微分方程的解. 4.微分方程的通解 对于一阶微分方程，我们把含有一个任意常数的解，叫做这个微分方程的通解. 对于二阶微分方程，我们把含有两个独立的任意常数的解，叫做这个微分方程的通解. 5.微分方程的特解 不含有任意常数的解，称为微分方程的特解. 6. 微分方程的初始条件 象例1—3中（2）式那样的条件，称为微分方程的初始条件. 7.积分曲线族 一阶微分方程的通解，在几何上表示一族曲线，称为积分曲线族. 作业： P262.1.（5） 2.（3）