常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第六章 非线性微分方程(二).pptx
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第六章 非线性微分方程
§6.2 定性：奇点，极限环及平面图貌6.2.1 奇点
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第六章 非线性微分方程
本章主要介绍非线性微分方程的稳定性理论和定性理论的一些基本概念和方法§6.1 稳定性：李雅普诺夫稳定性与 V 函数 常微分方程组
常微分方程组
5
定理 1. 对方程组 (6.6), 有如下结论成立
10 1. 若A的特征值均为负实部，则 (6.6) 的零解是渐近稳定的. 2. 若A的特征值至少有一个具正实部，则 (6.6) 的零解是不稳定的. 3. 若A的特征值均为非正实
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第五章 线性微分方程组(一).pptx
第五章 线性微分方程组速度例: 空间质点运动的方程组微分方程组:
SIR模型SIS模型
Volterra 模型 Lorenz 方程
5.1 线性微分方程组的一般理论在 上连续.
记
向量形式 矩阵函数, 向量函数的连续, 可微, 可积定义为它的每一元素的连续, 可微, 可积.初值问题
阶线性微分方程的初值问题 一阶线性微分方程组的初值问题.它们的解等价.
或
注: 一阶线性微分方程组 阶线性微分方程如关于初值问题解的存在唯一性定理:
设在区间上连续, 则对初值问题 (E) 在上存在唯一解.注：由此结论得到上一章关于n阶线性微 分方程初值问
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第五章 线性微分方程组(二).pptx
一些概念： 设 A 为 n 阶常数矩阵， , 定义A的范数为可以证明：称 n 阶矩阵序列 是收敛的，如果
无穷矩阵级数 称为收敛的，若它的部分和所成序列收敛.无穷矩阵函数级数 的一致收敛的定义和结果也可类似给出.如果对每一个k, 数值级数 收敛，则 收敛.
5.2 常系数线性微分方程组5.2.1 基解矩阵
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第四章 高阶微分方程(四).pptx
第四章 高阶微分方程
§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数阶法
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第四章 高阶微分方程(三).pptx
第四章 高阶微分方程4.2.3 质点振动 本节以数学摆的自由振动和强迫振动为例来讨论振动问题
切向分力例2. (数学摆) 一个质量为 的小球, 系在线的一端, 线的另一端系在墙上, 线的长度为 . 将小球拉开一个小角度, 松手使小球摆动, 求小球的运动规律.重力[解]设小球的线速度为
根据牛顿第二定律,得到注意到从而有
1. 无阻尼自由振动：记 通解： 为周期函数. 称为简谐振动.其中： 称为振幅, 为初相位.
周期： 频率角频率:当摆拉到 再松开, 得特解:如取:
2.有阻尼自由振动:
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第四章 高阶微分方程(二).pptx
第四章 高阶微分方程
§4.2.1 常系数齐次线性微分方程
4
5
(2) 特征值有重根的情形
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§4.2.2 非齐次线性微分方程与比较系数法
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第四章 高阶微分方程(一).pptx
第四章 高阶微分方程
高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程
本章主要介绍高阶线性微分方程
§4.1 线性微分方程的一般理论
考虑 n 阶线性微分方程：
4
初值问题
上存在唯一解.
1 齐次线性微分方程解的性质与结构
定理 2 （叠加原理）:
也为 (4.2)
的解，其中 为任意常数.
当 m=n 时，(4.2) 有解
定义：
定义：
7
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10
2 非齐次线性微分方程与常数变易法
性质1 (4.1) 的解与 (4.2) 的
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 常微分方程(第3章小节).pptx
第三章 一阶微分方程的解的存在 定理小结：
3. 解关于初值的连续性定理: 设 在 区域 内连续, 且关于 满足局部Lipschitz条件, 则方程 的解: 作为的函数在它的存在范围内是连续的.
设 都在 区域 内连续,
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 常微分方程(第5章小节).pptx
第五章 线性微分方程组
小结：
1. 初值问题
解的存在唯一性定理:
一. 线性微分方程组的一般理论
设
在区间
上连续, 则对
初值问题 (E) 在
上存在唯一解.
2. 齐次线性微分方程组 (5.3) 与非齐次线性微分方程组 (5.2) 的解的结构
1. 叠加原理:
为 (5.3) 的解, 则
也为 (5.3)
的解.
2. 由 (5.3) 的解
构成的朗斯基行列式
在
上或者恒为 0, 或者处处不为 0.
线性相关
线性无关
3.
为 (5.3) 的
线性无关的解, 则 (5.3) 的任一解可表为
个
用矩阵描述上述结论
4.
(5
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 常微分方程(第6章小节).pptx
第六章 非线性微分方程小结一. 稳定性
5 1. 若A的特征值均为负实部，则零解是渐近稳定的. 3. 若A的特征值有零实部的，则零解的稳定性需进一步判定. 2. 若A的特征值至少有一个具正实部，则零解是不稳定的.
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二. 定性
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第一章 绪论.pptx
常微分方程 (第四版) 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松 编 高等教育出版社 ;主讲人: 刘宣亮
课程 QQ 群：
2021常微分方程
群号：621783909
(注意：一定要按照“班别+姓名”
加群，否则不能入群.
如“应数张三”，“信计
李四”等）
;要求的内容:;第一章 绪论;常微分方程的求解问题:
对一阶常微分方程,Leibniz在1691年使用分离变量法,Bernoulli兄弟推进了分离变量法与变量代换法(1734-1735), Euler 在1734
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第三章 一阶微分方程的解的存在定理.pptx
第三章 一阶微分方程的解的存在定理§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 3.1.1 存在唯一性定理考虑方程 定理1 如果 在上连续且关于 满足Lipschitz条件, 则初值问题(E)在上存在唯一解, 其中注: 1. h 的几何意义. 2. L-条件常用 在 上对 有连续偏导数来代替. (但二者不等价)3. 对线性微分方程在 上连续, 则由任一初值确定的解在 上存在唯一. 4. L-条件只是解唯一存在的一个充分条件.若只要求 在 内连续, 则能保
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第二章 一阶微分方程的初等解法(二).pptx
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.3 恰当微分方程与积分因子 考虑对称形式的一阶线性微分方程2.3.1 恰当微分方程
问题：
2.3.2 积分因子
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§2.4 一阶隐式微分方程与参数表示 一阶隐式微分方程的一般形式：
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常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第二章 一阶微分方程的初等解法(一).pptx
第二章 一阶微分方程的初等解法初等解法：将微分方程的解通过初等函数 或它们的积分来表示.本章分四节分别介绍变量分离方程、线性微分方程、恰当微分方程、一阶隐式微分方程及其解法§2.1变量分离方程与变量变换 2.1.1 变量分离方程形如 的方程，称为变量分离方程, 其中连续解法： （分离变量）两边积分 (说明理由)例2： 例1： 例3 求解Volterra 捕食—被捕食模型 zyx用z = k截曲面截痕在xOy平面投影为闭曲线（即 Volterra 模型的轨线）OAyx沿着某条闭轨线a/b(x(0),y(0))=(x(T),y(T))Od/c 例4 碳-14年代测定法 考古、地质学等方
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电磁场与电磁波第四版 高等教育出版社 第六章.ppt
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 6.2 均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射 6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射 6.4 均匀平面波对理想导体平面的斜入射 引入等效波阻抗以后，在计算第一层媒质分界面上的反射系数 时 ，第二层媒质和第三层媒质可以看作等效波阻抗为 的一种媒质。 0 d z ① ② ③ ??1, ?1 k1i H1i E1i k1r H2i E2i k2i E1r H1r k2r E2r H2r k3i H2i E3i ??2, ?2 ??3, ?3 x 界面1 界面2