常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第一章 绪论.pptx

常微分方程(第四版)王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松 编高等教育出版社;主讲人: 刘宣亮 课程 QQ 群： 2021常微分方程 群号：621783909 (注意：一定要按照“班别+姓名” 加群，否则不能入群. 如“应数张三”，“信计 李四”等） ;要求的内容:;第一章 绪论;常微分方程的求解问题: 对一阶常微分方程,Leibniz在1691年使用分离变量法,Bernoulli兄弟推进了分离变量法与变量代换法(1734-1735), Euler 在1734-1735年及Clairaut 在1739-1740年间分别提出积分因子法, 因此, 在1740年左右,一阶常微分方程的初等解法基本建立起来了.(第二章) 对高阶常微分方程,常系数齐次线性微分方程 (Euler,1743), 变系数非齐次微分方程 (常数变易法, Lagrange, 1774-1775).(第四章,第五章) ;微分方程理论的基础: 解的存在性与唯一性 (Cauchy, 19世纪初). (第三章) 1841, Liouville 证明Riccati 方程: 不存在初等解. 　于是人们把重点放在研究解的性质上, 后来产生了常微分方程定性理论与稳定性理论(动力系统）(Poincaré, Liapunov, 19世纪末).(第六章) 20 世纪开始,拓扑动力系统,微分动力系统, 泛函微分方程,随机微分方程, 分支与混沌,控制论等.; 参考文献 丁同仁，李承治, 常微分方程教程(第二版), 高等教育出版社, 2004. 2. 东北师范大学微分方程教研室, 常微分方程 , 高等教育出版社, 2001. 3. 王柔怀，伍卓群, 常微分方程讲义, 人民教育 出版社, 1963. 4. 叶彦谦, 常微分方程讲义, 人民教育出版社, 1979. 5. 朱思铭，常微分方程学习辅导与习题解答， 高等教育出版社，2009.; 已学过的数学分析,高等代数,解析几何为本课程学习打下坚实的基础. 特别要掌握好: 不定积分的计算方法 (包括基本积分公式, 换元积分法, 分部积分法等.) 行列式, 矩阵的特征值,特征向量,不变子空间,Jordan 标准形.（第五、六章）;常微分方程模型: 例1. 电子电路模型: ;解: 由Kirchhoff 第二定律: 在闭合回路中, 所有支路上的电压的代数和为零. ; 若无电容 C, 满足的方程为;;根据牛顿第二定律,得到;较小且无阻力时, 方程为;例3. 人口模型: 英国神父Malthus在1798年出版的著作中提出了人口按几何级数增长的理论. Malthus假定：在任何时刻t，人口的增长率始终与该时刻的人口数N(t)成正比，记比例常数为 于是得所谓Malthus人口模型 这是一个简单的常微分方程，假定其初始条件为 ;可求得其解为 上式表明:人口按几何级数增长. 1838年,Verhulst 对 Malthus 模型的改进 (密度制约): ;称为Logistic 模型.;例4 传染病模型 Kermack和McKendrick的SIR模型 (1926): 针对某些传染病将该地区的人群分成以下三类: 易感者(susceptibles)类 : 其数量记为S(t) , 表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数. 染病者(infectives)类 : 其数量记为I(t) ,表示 t 时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数. ; 1. 假定此地区的总人口始终保持为一个常数,即 S(t)+I(t)+R(t)=N . 2. 假设 t 时刻单位时间内,一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数 S(t) 成正比,比例系数为 k, 从而在 t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为 kS(t)I(t). 3. t 时刻单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比,比例系数为 r, 从而单位时间内移出者的数量为 rI(t). 得到以下模型:;称为SIR模型. ;或;例5. 两种群间相互作用的模型 20世纪20年代，意大利生物学家U.D’Ancona ……捕鱼量减少……捕食鱼比例