常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 第二章 一阶微分方程的初等解法(一).pptx

第二章 一阶微分方程的初等解法初等解法：将微分方程的解通过初等函数 或它们的积分来表示.本章分四节分别介绍变量分离方程、线性微分方程、恰当微分方程、一阶隐式微分方程及其解法§2.1变量分离方程与变量变换 2.1.1 变量分离方程形如 的方程，称为变量分离方程, 其中连续解法： （分离变量）两边积分 (说明理由)例2： 例1： 例3 求解Volterra 捕食—被捕食模型 zyx用z = k截曲面截痕在xOy平面投影为闭曲线（即 Volterra 模型的轨线）OAyx沿着某条闭轨线a/b(x(0),y(0))=(x(T),y(T))Od/c 例4 碳-14年代测定法 考古、地质学等方面的专家常用碳-14测定法去估计文物或化石的年代． 假设碳-14 的蜕变速度与该时刻碳的存量成正比. 设在时刻 t (年)生物体中碳-14 的存量为 , 生物体的死亡时间记为 此时碳-14的含量为 ，则由假设，初值问题为碳-14 的蜕变规律: 为常数. 初值问题的解为常数 可由半衰期确定．记碳-14的半衰期为 则有 于是2.1.2 可化为变量分离方程的类型(1) 形如 的方程，称为齐次微分方程, 其中 连续解法： 为变量分离方程.(2) 形如 的方程, 其中 连续, 其解法为：(3) 形如 的方程, 其中 连续, 其解法讨论如下：例 探照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时，要求将点光源射出的光线平行地反射出去，试求反射镜面的几何形状. 解 设光源在坐标原点, 并取 x 轴平行于光的反射方向．如果所求的曲面由曲线 绕 x 轴旋转而成，现求曲线 作变换可得分离变量两边积分, 化简可得反射镜面为旋转抛物面:§2.2线性微分方程与常数变易法 一阶线性微分方程例2 例3 例1 例4 例5