常微分方程(第四版)课件 王高雄 高等教育出版社 常微分方程(第5章小节).pptx

第五章 线性微分方程组 小结： 1. 初值问题 解的存在唯一性定理: 一. 线性微分方程组的一般理论 设 在区间 上连续, 则对 初值问题 (E) 在 上存在唯一解. 2. 齐次线性微分方程组 (5.3) 与非齐次线性微分方程组 (5.2) 的解的结构 1. 叠加原理: 为 (5.3) 的解, 则 也为 (5.3) 的解. 2. 由 (5.3) 的解 构成的朗斯基行列式 在 上或者恒为 0, 或者处处不为 0. 线性相关 线性无关 3. 为 (5.3) 的 线性无关的解, 则 (5.3) 的任一解可表为 个 用矩阵描述上述结论 4. (5.3) 必有基解矩阵 若 为 (5.3) 的任一解, 则 为常向量 (5.3) 的解矩阵 为基解矩阵 6.1 为(5.3) 的基解矩阵, C 为可 逆阵 也为基解矩阵 5. 6. 6.2 为 的两个 阶可逆阵 基解矩阵, 则存在 在 上成立 7. (5.2) 的两解之差为 (5.3) 的解 (5.3) 的解与 (5.2) 的解之和为 (5.2)的解 设 为(5.3) 的基解矩阵, 为 (5.2) 的一个特解, 则 (5.2) 的任一解 为常向量 8. 常数变易法: 代入 (5.2), 可得 9. （5.2）的特解 初值问题 的解为 (5.2)的通解 基解矩阵的计算： 如果矩阵 A的特征值有重根，它们 对应的线性无关的特征向量 的个数小于 n , 则分为下面两种情形计算： 则 的基解矩阵为 的基解矩阵为 三. 常系数非齐次线性微分方程组的初值问题 的解为 四. 拉普拉斯变换