复变函数与积分变换：5-习题课PPT.ppt

* 解 的一级极点为 * 例5 计算积分 为一级极点， 为七级极点. 解 * 由留数定理得 * 例6 解 在 内, * * 解 例7 计算 * * 例8 计算 解 令 * 极点为 : (在单位圆内) (在单位圆外) * 例9 计算积分 解 极点为 其中 由留数定理，有 * * 例10 计算积分 解 在上半平面内有一级极点 * 放映结束，按Esc退出. * 例1 计算积分 解 则 稍难 * 一、重点与难点 重点： 难点： 留数的计算与留数定理 留数定理在定积分计算上的应用 * 二、内容提要 留数 计算方法 可去奇点 孤立奇点 极点 本性奇点 函数的零点与 极点的关系 对数留数 留数定理 留数在定积 分上的应用 辐角原理 路西原理 * 1）定义 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 1. 孤立奇点的概念与分类 孤立奇点 奇点 2）孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点. * 定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末 孤立奇点 称为 的可去奇点. i) 可去奇点 * 如果洛朗级数中含有无穷多个 那末孤立奇点 称为 的本性奇点. 的负幂项, 注意: 在本性奇点的邻域内 不存在且不 为 iii)本性奇点 * i) 零点的定义 不恒等于零的解析函数 如果 能表示成 其中 在 解析且 m为某一正整数, 那末 称为 的 m 级零点. 3)函数的零点与极点的关系 ii)零点与极点的关系 如果 是 的 m 级极点, 那末 就是 的 m 级零点. 反过来也成立. * 2. 留数 记作 定义 如果 的一个孤立奇点, 则沿 内包含 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分 的值除 后所得的数称为 以 * 1)留数定理 设函数 在区域 D内除有限个孤 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 立奇点 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数 在C内各孤立奇点处的留数. * (1) 如果 为 的可去奇点, 则 如果 为 的一级极点, 那末 a) (2) 如果 为 的本性奇点, 则需将 成洛朗级数求 展开 (3) 如果 为 的极点, 则有如下计算规则 2)留数的计算方法 * c) 设 及 在 如果 那末 为一级极点, 且有 都解析， 如果 为 的 级极点, 那末 b) * 也可定义为 记作 1.定义 设函数 在圆环域 内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线 那末积分 值为 在 的留数. 的值与C无关 , 则称此定 3)无穷远点的留数 * 如果函数 在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点, 那末 在所有各奇点 (包括 点) 的留数的总和必等于零. 定理 * 3. 留数在定积分计算上的应用 1）三角函数有理式的积分 当 历经变程 时, z 沿单位圆周 的 正方向绕行一周. * * 2）无穷积分 * 3）混合型无穷积分 * 特别地 * 4.对数留数 定义 具有下列形式的积分: 内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数. 其中, N为 f(z)在C 且C取正向. * 如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在 C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于 乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量. 辐角原理 路西定理 * 三、典型例题 解 * 解 * * 例2 求函数 的奇点，并确 定类型. 解 是奇点. 是二级极点; 是三级极点. * 例3 证明 是 的六级极点. 证 * 例4 求下列各函数在有限奇点处的留数. 解 (1)在 内, * 解 * 解 为奇点, 当 时 为一级极点， *