复变函数与积分变换：3-习题课PPT.ppt

* * 解 为大于1的自然数. 例6 计算下列积分 * 解法一 不定积分法. 利用柯西—黎曼方程, * 一、重点与难点 重点： 难点： 1. 复积分的基本定理； 2. 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算 * 二、内容提要 有向曲线 复积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质 柯西积分定理 原函数 的定义 复合闭路 定 理 柯西积分 公 式 高阶导数公式 调和函数和 共轭调和函数 * 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 1.有向曲线 * 2.积分的定义 * 4. 积分的性质 * 5. 柯西－古萨基本定理 (柯西积分定理) * 由定理得 * 6.原函数的定义 (牛顿-莱布尼兹公式) * 7. 闭路变形原理 复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 那末 * * 8.柯西积分公式 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. * 9. 高阶导数公式 * 10.调和函数和共轭调和函数 任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. * 定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 共轭调和函数 * 三、典型例题 例1 计算 的值，其中C为 1）沿从 到 的线段： 2）沿从 到 的线段： 与从 到 的线段 所接成的折线. 解 * 说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同. * 因此 证 例2 设C为圆周 证明下列不等式. * 解 例3 计算 当 时, * 解 * 解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式 由柯西-古萨基本定理有 * * 解法二 利用柯西积分公式 * 因此由柯西积分公式得 * * 解 分以下四种情况讨论： * * *