复变函数与积分变换类ppt 4.ppt

第四章???级数;数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来，;§1 复数项级数;1. 复数列的极限 ;定理一 复数列;从而有;2. 级数概念 ;都收敛。;定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级;成立。;非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。;例1???考察级数;例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。;例 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。;例3 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?;例 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?;§2 幂级数;1. 幂级数的概念;若级数在D内处处收敛, 则和一定是z 的一个函数 s (z)：;定理一(阿贝尔Abel定理);由于;2. 收敛圆和收敛半径;显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.;例1 求幂级数;3.收敛半径的求法;外有一点;, 那么根据阿贝尔定理，级数;注意：定理中的极限是假定存在的且不为零。若;例2 求下列幂级数的收敛半径;例2 求下列??级数的收敛半径;例2 求下列幂级数的收敛半径;例2 求下列幂级数的收敛半径;2);例 求下列幂级数的收敛半径;例 求下列幂级数的收敛半径;例 求下列幂级数的收敛半径;例 求下列幂级数的收敛半径;例 求下列幂级数的收敛半径;4. 幂级数的运算和性质;为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半;例3 设有幂级数;例3 设有幂级数;更为重要的是代换(复合)运算, 就是：;例4 把函数;例4 把函数;例4 把函数;本题的解题步骤为：首先把函数作代数变形，;例 把函数;例 把函数;定理四 设幂级数;例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数;例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数;例 求下列幂级数的收敛半径及其和函数;§3 泰勒级数;设函数 f (z)在区域D内解析, 而;其中K 取正方向, 且有;代入柯西积分公式得;其中; f (z)在D内解析, 从而在K上连续, 则在K上有界, 因此在;称为f (z)在z0的泰勒展开式, 它右端的级数称为f (z)在;成立，其中;如果f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立;任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, ;由此可见，任何解析函数展开成幂级数的结果就;因为ez 在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成;除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, ;例1 把函数;[解] ln(1+z)在从;;[解法1];设;所以所求的展开式为;[解法2];总之, 把复变函数展开成幂级数的方法与实变函数的;例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们;例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们;例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们;例 把下列函数展开成z的幂级数，并指出它们;例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出;例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出;例 求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出;§4 洛朗级数;一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在;可将其分为两部分考虑;;例如级数;的收敛区域。;例如, 可以证明, 负幂项级数在收敛域内其和函数;函数;其次, 在圆环域：;定理 设 f (z)在圆环域;其中;内，所以;第二个积分;其中;因此有;上面级数的系数由不同的式子表出。 如果在圆环域;(4.4.5)称为 f (z)在以z0为中心的圆环域：;另外，一个在某圆环域内解析的函数展开为含有;这就是得到前面的级数的系数。;内展开成洛朗级数时，若用公式计算cn算，那么有;若根据正、负整次幂项组成的级数的唯一性，可以用;x;[解] 先把 f (z)用部分分式表示：;ii) 在1|z|2内，由于;iii) 在2|z|+?内，由于;在圆环域：;[解] 先把 f (z)用部分分式表示：;ii) 在1|z-1|+?内，由于;iii) 在0|z-2|1内，由于;iv) 在1|z-2|+?内，由于;例2 把;在以z = 0 为中心、由;在以z = 0 为中心、由;在以z = 0 为中心、由;函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环;域(包括圆域)内的展开式有三个：;特别的，当洛朗级数的系数公式;函数;函数;例3 求积分