复变函数与积分变换PPT课件（380页）.pptx

第一章

复变函数与

解析函数

第一节

复数及其运算

一、复数及其代数运算

二、复数的几何表示

三、复数的几何运算

上页下页谓录

第一节复变及其运算

一、复数及其代数运算

1.复数概念

引入虚数单位i,并规定i²=-1.

定义：对于Vx,y∈R,称形如z=x+iy或z=x+yi的

表达式为复数，其中x和y分别称为复数z的实部与

虚部，记为x=Rez及y=Imz.

第一节复数及其运算一、复数及其代数运算

1.复数概念

●当y=0时，复数z=x是实数；

●当y≠0时，复数z=x+iy称为虚数；

●当x=0而y≠0时，复数z=iy称为纯虚数.

●全体复数构成复数集，记为C.

●若两个复数Z₁=x+iy₁、Z₂=x₂+iy₂满足X₁=X2且

y₁=Y₂,则称两个复数Z1与Z2相等，记为Z₁=Z₂;

●若Z1与Z2满足X₁=X2且Y₁=-y2,则称两个复数Z1与

Z2互为共轭复数，记为Z₁=Z2或Z2=z.

●一般地，两个复数不能比较大小.

上顶下质用录

第一节复数及其运算一、复数及其代数运算

2.复数的四则运算

设z₁=x₁+iy₁与z₂=X₂+iy₂是两个复数，

加、减法：

z₁±z₂=(x₁±x₂)+i(y₁±y₂);

乘法：Z₁Z₂=(x₁x₂-

y₁y₂)+i(x₂y₁+x₁y₂);除法：

第一节复数及其运算一、复数及其代数运算

2.复数的四则运算

共轭运算及四则运算的性质：

(1)交换律：Z₁+Z₂=Z₂+Z₁,Z₁Z₂=Z₂Z1;

结合律：(z₁+z₂)+Z₃=z₁+(z₂+Z),

(z₁z₂)z₃=z₁(z₂Z₃);

分配律：(z₁+z₂)z₃=ZZ₃+Z₂Z₃·

(2)z=z.

(3)z±z₂=z±z₂,Z₁Z₂=zz²,

≠0)

上页下页目录

第一节复数及其运算一、复数及其代数运算

2.复数的四则运算

共轭运算及四则运算的性质：

(4)若z=x+iy,则zz=x²+y².

(5)z+z=2Rez,z-z=2iImz.

例1定义zn为n个相同复数z的乘积，称为z的n次幂.比

如i²=-1,i³=i²·i=-i,i⁴=i³·i=1,依此类推，有

k=0,1,2,.….

上页下页目录

第一节复数及其运算一、复数及其代数运算

2.复数的四则运算

例2设z=3-4i,●

解由于z₂=-1+i≠0,从而Z₂≠0.分子分母同时

乘以z₂,

上页下页目录

第一节复数及其运算一、复数及其代数运算

2.复数的四则运算

例3证明：复数z是实数的充分必要条件是z=z.

证设z=x+iy.由定义可知，如果z是实数，则y=0

因此z=x-iy=x=z.

反之，如果z=z,则x+iy=x-iy,得到y=-y,即

y=0,从而z=x是实数。

注：类似可证明，复数z是纯虚数⇔z=-z且z≠0.

上页下页胃录

第一节复数及其运算

二、复数的几何表示

1.复平面

一一对应，称xoy面为复平面或z平面.

●x轴称为实轴，y轴称为虚轴，实轴表示全体实数，除

去原点的虚轴表示所有纯虚数.点z关于实轴的对称

点表示z的共轭复数z.