复变函数与积分变换习题.pdf

习题2.1

2.用复变函数的求导法则判断下列函数在哪些点

可导，并求其导数.

2

w=1/(z+1)

（2）

2

解：由求导数的四则运算法则，w=1/(z+1)在

2

整个复平面上除了z+1=0即z=±i外可导，且有

2′

′1′(z+1)2z

w=(2)=−22=−22

z+1(z+1)(z+1).

3.试证明下列复变函数处处不可导.

w=z+Re(z)

（4）

证明：令z=x+yix(,y∈R)，则

w=z+Re(z)=(x+yi)+x=2x+yi，

其实部和虚部分别为

ux(,y)=2x,vx(,y)=y,

且有

∂u∂u∂v∂v

=2,=0,=0,=1,

∂x∂y∂x∂y

其Cauchy-Riemann方程处处不成立.因此由复变

函数在一点可导的充要条件知该复变函数处处不

可导.

4.判断下列函数在哪些点可导，且求在可导点处的

导数.

22

f(z)=|z|−iRe(z)

（2）

解：令z=x+yix(,y∈R)，则

2222

=+−+

f(z)(xy)iRe((xyi))

2222

=+y−ix−y+xyi

xRe(2)

2222

=x+y−ix−y

()

2222