材料力学第四章 弹性杆横截面上的切应力分析.doc

第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 §4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 SKIPIF 1 0 ，又有切应力 SKIPIF 1 0 。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1．矩形截面梁 对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力FQ。现分析距中性轴z为y的横线 SKIPIF 1 0 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线 SKIPIF 1 0 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力FQ的方向一致。由于对称的关系，横线 SKIPIF 1 0 中点处的剪应力也必与FQ的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想 SKIPIF 1 0 线上各点切应力的方向皆平行于剪力FQ。又因截面高度h大于宽度b，切应力的数值沿横线 SKIPIF 1 0 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力FQ。 图4-162）切应力沿截面宽度均匀分布。 图4-16 图4-15基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16c所示，现欲求距中性轴z为y的横线 SKIPIF 1 0 处的切应力 SKIPIF 1 0 。过 SKIPIF 1 0 用平行于中性层的纵截面 SKIPIF 1 0 自dx微段中截出一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 SKIPIF 1 0 。微块左右侧面上正应力的合力分别为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，其中 图4-15 SKIPIF 1 0 （4-29） SKIPIF 1 0 (4-30) 式中， SKIPIF 1 0 为微块的侧面面积， SKIPIF 1 0 为面积 SKIPIF 1 0 中距中性轴为 SKIPIF 1 0 处的正应力， SKIPIF 1 0 。 由微块沿x方向的平衡条件 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 （4-31） 将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 因 SKIPIF 1 0 ，故求得横截面上距中性轴为 y处横线上各点的剪应力 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 （4-32） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中， SKIPIF 1 0 为截面上的剪力； SKIPIF 1 0 为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度； SKIPIF 1 0 为面积 SKIPIF 1 0 对中性轴的静矩。 对于矩形截面梁（图4-17），可取 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 这样，式（4-32）可写成 图4-17 SKIPIF 1 0 图4-17 上式表明，沿截面高度剪应力 SKIPIF 1 0 按抛物线规律变化（图4-17）。 在截面上、下边缘处，y=± SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 =0；在中性轴上，y=0，切应力值最大，其值为 SKIPIF 1 0 （4-33） 式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的 SKIPIF 1 0 倍。 2．圆形截面梁 在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线aa SKIPIF 1 0 两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是