材料力学第四章 截面的几何性质1课件.ppt

截面几何性质 本次课主要内容 §I.1 静矩和形心 3. 组合截面的静矩和形心 【例题 1】 负面积法 §I.2 惯性矩和惯性半径 3. 极惯性矩（二次极矩） 【例题 2】 4. 组合截面的惯性矩和极惯性矩 §I.3 惯性积 　　坐标系的两个坐标轴中只要有一个是截面的对称轴，则截面对该坐标系的惯性积等于零。 §I.４ 平行移轴公式 Iy~Iyc 平行移轴公式： 【例题 5】 【例题6】 求图示截面对与y和z平行形心轴的惯性矩和惯性积。 §I.5 转轴公式　主惯性轴 1. 定点转轴公式 Iy1~ Iy, Iz , Iyz 转轴公式 2. 主惯性轴（主轴） 讨论：主轴方向的惯性矩 主惯性矩的计算公式： 4.主形心轴和主形心惯性矩 【例题 5】试证明下列定理：如果通过截面的任一指定点有多于一对的主轴，那么通过该点的所有轴都是主轴。 推论： 【例题 6】 求图示截面的主形心惯性矩。 小结　求主形心惯矩步骤 课后练习 令： 得： 可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。 3. 主惯性矩 定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。 由： 得： 将上式代入 得主惯性矩的计算公式： 显然： y z o z z1 y y1 y1 z1 定义： 　(1)通过形心的主轴称为主形心轴。 　(2)对主形心轴的惯性矩称为主形心惯性矩。 　(3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称 　　为主形心惯性平面。 显然：　对称轴必定是主形心轴。 证明：设通过截面 O 点的y、z 轴为主轴，u、v 为另一对主轴，其中?o不是 ?/2 的整数倍，由转轴公式： 而： 从而： y z o z1 y1 v u 　　故过Ｏ点的任何一对正交轴都是主轴，定理得证。 若通过截面某点有三根（或三根以上）的对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。 正多边形有无数对主形心轴。 c c c c c y z o z1 y1 v u 解： 1、建立参考坐标系，确定整个截面的形心位置 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o c c1 c2 （yc， zc ） 计算形心坐标： * * Geometrical Properties of An Area 截面几何性质： 与截面形状和尺寸有关的几何量。 拉伸： 扭转： 静矩和形心 惯性矩和惯性半径 惯性积 平行移轴公式 转轴公式　主惯性轴 y z o y z o A z y C 1. 静矩(一次矩) 2. 形心 结论： 1、 Sz = 0 ? z 轴是形心轴 2、对称轴必定是形心轴 C y z z o y z -y y z z o y A1 A2 … An 静矩 (yi,zi) 试求图示曲线 下的面积OAB对于y轴的静矩Sy和形心位置xc x y A o b h B x dx dA C xc 解： 面积 形心 C xc b h 三角形 C xc b h 矩形 C xc b h 二次抛物线 C xc b h 三次抛物线 C xc b h 二次抛物线 b xc2 C2 xc h C C1 xc1 x y o 1. 惯性矩（二次轴矩） 惯性矩恒为正值 2. 惯性半径 y z z o y A y z z o y ? 　　截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。 试计算图示矩形对其对称轴的惯性矩。 C y z b h z dz 解： 【例题 3】试计算图示圆形对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。 解： y z D C ? d? y z z o y A1 A2 … An y z D d C 【例题 4】试计算图示圆环对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。 能否用同样的办法计算抗扭截面系数？ 惯性积可正、可负、可为零 y z z o y A y z z o y z -y 已知： 求： ( a 和 b 是截面的形心在 oyz 坐标系中的坐标 ) C y z o a b yc zc 其中： C y z o z zc a y yc b yc zc 在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。 C y z o z zc a y yc b yc zc 已知： 解： C yc zc b h y 求： 解： 1、确定整个截面的形心位置 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o c c1 c2 （yc， zc ） 计算形心坐标： 8 cm 12 cm 1 cm 1 cm z y o zc yc c c1 c2 zc yc a1 a2 b1 b2 a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53