第四章截面的几何性质.doc

第四章 截面的几何性质 内容提要 一、截面的静面矩和形心位置 Ⅰ、图4-1中，任意形状截面的面积为A，截面对y、z坐标轴的静面矩分别为 ， (4-1) 截面形心C的坐标为 ， (4-2) 当截面的形心C的坐标、已知时，求静面矩的公式为 ， (4-3) Ⅱ、组合截面的静面矩和形心 由几个简单图形(例如矩形、圆形等形心位置已知的图形)组成的组合截面，设各简单图形的面积分别为，其坐标分别为、(i=1.2…n)，则组合截面对y、z轴的静面矩为 ，， (4-4) 组合截面的形心为 ， ， (4-5) Ⅲ、静面矩的特征 1. 静面矩和坐标轴的位置有关，其值可为“+”、“—”、“0”，单位为m3。 2. 若，，，因此z轴必通过形心。即截面对形心轴的静面积等于零。 3. 在图4-2中，C为形心，用平行于z轴的任一横向线将截面截分为Ⅰ、Ⅱ两部分，必有 ， 二、惯性矩、惯性积、惯性半径 Ⅰ、惯性矩 任意形状截面的面积为A(图4-3)，截面对y和z轴的惯性矩分别为 ， (4-6) 截面对坐标原点的极惯性矩为 (4-7) 即 (4-8) 惯性矩的特征： 1. 惯性矩恒为正值，单位为m4。 2. 截面对坐标原点的极惯性矩，等于截面对通过原点的一对正交坐标轴的惯性矩之和。 3. 熟记以下结果 Ⅱ、惯性积 设任意形状截面的面积为A(图4-3)，则截面对y和z轴的惯性积为 (4-9) 惯性积的值可为“+”、“—”、“0”，单位为m4。 Ⅲ、惯性半径 设任意形状截面的面积为A，则截面对y和z 轴的惯性半径分别为 ， (4-10) 三、惯性矩和惯性积的平行移轴公式 Ⅰ、在图4-4中，任意形状截面的面积为A，形心C在y、z坐标系中的坐标分别为a和b，和轴为形心轴，、。惯性矩和惯性积的平行移轴公式分别为 ， (4-11) (4-12) Ⅱ、应用平行移轴公式时应注意以下几点： 1. 在互相平行的坐标轴中，一定要有一轴或两轴为形心轴，否则上述平行移轴公式不成立。 2. 当已知截面对形心轴的惯性矩和时，用(4-11)求和。当已知和时，则和为 ， 由上式可见，截面对所有互相平行坐标轴的惯性矩中，以截面对形心轴的惯性矩为最小，例如图4-5中，轴互相平行，在中，以为最小。 3. a、b分别为z和及y和轴之间的距离，也是形心C在y、z坐标系中的坐标，所以a、b之值可为“+”、“—”或“0”。 四、转轴公式 Ⅰ、转轴公式 (4-13) (4-14) 由(4-13)式，得 (4-15) Ⅱ、转轴公式的特征 1. 角以由y和z轴，绕O点逆时针分别转至和时为正，反之为负。 2. 坐标原点O为截面内任意一点，转轴公式与形心无关。 3. (4-15)式表明，截面对一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常量，等于截面对坐标原点的极惯性矩。 五、主惯性轴、主惯性矩 Ⅰ、主惯性轴 图4-7所示为任意形状截面，若截面对和轴的惯性积，则和轴为主惯性轴，当坐标原点为形心时，和为形心主惯性轴，简称为形心主轴。 Ⅱ、确定主惯性轴的方法 1. 当y和z轴之一为截面的对称轴时，则y和z轴为主惯性轴，且当y、z的坐标原点为形心时，y和z轴为形心主轴。在图4-8中，y和z1为主惯性轴、y和z轴为形心主惯性轴。 2. 当截面没有对称轴时，确定主惯性轴和轴的公式为 (4-16) 式中，、、分别为截面对参考坐标轴y和z轴的惯性矩和惯性积，角为从参考轴y转至y0轴的转角，以逆时针转向为正。当y和z轴的坐标原点为形心时，(4-16)式也为确定形心主轴位置的公式。 Ⅲ、形心主惯性矩 1. 截面对主惯性轴的惯性矩,称为主惯性矩。截面对形心主轴的惯性矩为形心主惯性矩,其值为 (4-17) 2 . 形心主惯性矩的特征 (1)和为极值惯性矩，又因为(常量)，所以和分别为截面对过形心的所有坐标轴的惯性矩的最大值或最小值。 (a)由(4-17)式可见，，。该结论和(4-16)式右端的“-”