截面的几何性质.ppt

附录1截面的几何性质I－2PolarInertiaMoment?MomentofInertia?ProductofInertia?-1截面的静矩和形心位置Appendix?GeometricPropertiesofAnAreaI－2极惯性矩·惯性矩·惯性积?-1StaticMoment?CenterofAnAreaLectures(八)附录?截面的几何性质§?-1截面的静矩和形心位置设任意形状截面如图所示。1.静矩（或面积的一次矩）(常用单位：m3或mm3。值：可为正、负或0。）2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）OxdAyyxC静矩与形心坐标的关系组合截面的静矩结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:12将01代入02解得组合截面的形心坐标公式为：（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）035.组合截面的形心坐标公式例1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。解：取平行于x轴的狭长条，所以对x轴的静矩为Oxyb(y)ydyhb例2求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，方法1：直接积分法简单图形例3求图示图形的形心。解：将此图形分成I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：xC=0矩形I矩形II、III例4试计算图示截面形心C的位置。120解：将截面分为I、II两个矩形。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：Oxyy110xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II代入组合截面的形心坐标公式x解得：方法2：分组叠加法ⅠⅡOyy112010xx8010yC(y,x)ⅡⅠⅡ矩形IA1=70?110=7700mm2x1=45mm,y1=65mm矩形IIA2=80?120=9600mm2x1=40mm,y1=60mm方法3：负面积法§I－2极惯性矩·惯性矩·惯性积设任意形状截面如图所示。1.极惯性矩（或截面二次极矩）2.惯性矩（或截面二次轴矩）（为正值，单位m4或mm4)所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OxyyxrdA3.惯性积（其值可为正、负或0，单位:m4或mm4)（3）惯性半径（单位m或mm）OxyyxrdA（1）若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；（2）惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩特点例5试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩和惯性积。解：取平行于x轴的狭长条，则dA=bdy同理yhCxdyyb(a)因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0例6试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。xdy?yx解：由于圆截面有极对称性，所以所以dy?y§?-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式?组合截面的惯性矩和惯性积1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式1.公式推导OxyCdAxCyCabyxxCyCy=yc+ax=xc+b平行移轴公式xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；3.注意：01b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和二、组合图形的惯性矩：02例7求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩xycxcC解：dyb(