材料力学主教材－电子书第章杆件横截面剪应力分析.pdf

范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室 FAN Qin-Shan’s Education Teaching Studio eBook 材 料 力 学 (5) 主 编 范钦珊 编 著 章梓茂 殷雅俊 范钦珊 2004-12-18 1 第 5 章 弹性杆件横截面上的剪应力分析 §5 －1 剪应力互等定理 剪切胡克定律 §5 －2 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 §5 －3 薄壁截面梁弯曲时横截面上的剪应力流与 弯曲中心 §5 －4 薄壁截面梁的弯曲剪应力公式推广应用到 实心截面梁 §5 －5 基于最大剪应力的强度计算 §5 －6 结论与讨论 习题 2 基础篇之五 第 5 章 弹性杆件横截面上的剪应力分析 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩 (M x ) 或剪力（F 或F ）时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截 Qy Qz 面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为剪应力。 本章将分析两种剪应力：受扭圆轴横截面上的剪应力与承受弯曲杆件横截面 上的剪应力。这两种剪应力的分析方法不完全相同。 分析圆轴扭转时横截面上的剪应力仍然需要借助于平衡、变形协调与物性关 系，其过程与正应力分析相似。分析弯曲引起的剪应力，在假设纯弯正应力公式 依然适用的前提下，则仅仅需要应用平衡的方法。 § 5—1 剪应力互等定理 剪切胡克定律 工程上将传递功率的构件称为轴(shaft)，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线 转动的外扭转力偶作用时( 图5—1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。 图5－1 承受扭转的轴 5 －1－1 剪应力互等定理 考查承受剪应力作用的微元体（图 5 －2 ），假设 作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的 剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成 一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然 存在剪应力τ ˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对 力，组成另一力偶，为保持微元的平衡这两个力偶的 力偶矩必须大小相等、方向相反。 于是，根据微元的平衡条件有 图5－2 剪应力互等定理 ′ ∑M 0, (τdydz )dx =−(τ dxdz )dy 0 由此解得： τ τ′ (5 －1) 3 这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直 于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理 （pairing principle of shear stresses ）。 微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯 剪应力状态 （stress state of the pure shear ）。 5 －1－2 剪切胡克定律 通过扭转试验，可以得到剪应力τ 与剪应变γ 之间的关系曲线（图 5 －3 ）。其中直线段 剪应力的最高限称为剪应力比例极限，用τ 表示。